( 10 pontos) Faça o que se pede:
(a) Descubra todas as funções
tais que:
(b) Entre as funções do item anterior, descubra a única tal que:
(a) Descubra todas as funções
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar todas as funções
tais que . - (b) Entre as funções do item (a), determinar a única que satisfaz
.
Informações dadas: a expressão da derivada
e a condição inicial
para o item (b).
Passo 2
O que significa “achar todas as funções
cuja derivada é dada”? Significa encontrar uma primitiva ou antiderivada da função
. Em termos de integração, procuramos uma função
tal que
A notação para uma família de primitivas é
onde
é uma constante real arbitrária. Essa constante aparece porque a derivada de uma constante é zero, então adicionar uma constante não altera a derivada.
Exemplo simples para fixar a ideia: como
, uma primitiva de
é
. Em geral, primitivas vêm com uma constante
.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva
. Usamos a substituição usuais para integrais do tipo
.
Defina
. Então
, ou equivalentemente
.
Substituindo na integral obtemos
A integral de
é
, logo
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Portanto, todas as funções
que satisfazem
são dadas pela família
com
. Aqui
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
É bom verificar rapidamente que essa fórmula realmente funciona: calcule a derivada de
. Usamos o “regra da cadeia”: a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Então
como era exigido.
Passo 6
Agora impomos a condição do item (b):
. Usamos a forma geral
e substituímos
:
Queremos que isso seja igual a
, então
Passo 7
Com
obtemos a única função da família que satisfaz
:
Resposta
(a)
, com
.
(b) .
(b)