( 10 pontos) Faça o que se pede:
(a) Descubra todas as funções f(x) tais que:
f^{\prime}(x)=x e^{x^{2}}
(b) Entre as funções do item anterior, descubra a única tal que:
f(0)=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar todas as funções f(x) tais que f^{\prime}(x)=x e^{x^{2}}.
  • (b) Entre as funções do item (a), determinar a única que satisfaz f(0)=1.
Informações dadas: a expressão da derivada f^{\prime}(x)=x e^{x^{2}} e a condição inicial f(0)=1 para o item (b).

Passo 2

O que significa “achar todas as funções f cuja derivada é dada”? Significa encontrar uma primitiva ou antiderivada da função x e^{x^{2}}. Em termos de integração, procuramos uma função F(x) tal que
F'(x)=x e^{x^{2}}.
A notação para uma família de primitivas é
\int x e^{x^{2}}\,dx = F(x) + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Essa constante aparece porque a derivada de uma constante é zero, então adicionar uma constante não altera a derivada.
Exemplo simples para fixar a ideia: como \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, uma primitiva de 2x é x^{2}. Em geral, primitivas vêm com uma constante +C.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva \int x e^{x^{2}}\,dx. Usamos a substituição usuais para integrais do tipo x\cdot e^{x^{2}}.
Defina u=x^{2}. Então du = 2x\,dx, ou equivalentemente x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral obtemos
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, logo
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Portanto, todas as funções f que satisfazem f^{\prime}(x)=x e^{x^{2}} são dadas pela família
f(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C,
com C\in\mathbb{R}. Aqui C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

É bom verificar rapidamente que essa fórmula realmente funciona: calcule a derivada de f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C. Usamos o “regra da cadeia”: a derivada de e^{x^{2}} é e^{x^{2}} vezes a derivada de x^{2}, que é 2x. Então
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x e^{x^{2}}+0 = x e^{x^{2}},
como era exigido.

Passo 6

Agora impomos a condição do item (b): f(0)=1. Usamos a forma geral f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C e substituímos x=0:
f(0)=\frac{1}{2}e^{0}+C=\frac{1}{2}\cdot 1 + C = \frac{1}{2}+C.
Queremos que isso seja igual a 1, então
\frac{1}{2}+C=1 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Com C=\dfrac{1}{2} obtemos a única função da família que satisfaz f(0)=1:
f(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{x^{2}}+1\bigr).

Resposta

(a) f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C, com C\in\mathbb{R}.
(b) f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+\dfrac{1}{2}.

Exercícios relacionados