( 10 pontos) Faça o que se pede:
(a) Descubra todas as funções
tais que:
(b) Entre as funções do item anterior, descubra a única tal que:
(a) Descubra todas as funções
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar todas as funções tais que
(a) Encontrar todas as funções
(b) Entre as funções do item (a), achar a única que satisfaz
.
Informações relevantes dadas:
- Foi fornecida a derivada
em função de . - Para (a) devemos encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função; para (b) devemos usar a condição inicial
para determinar a constante de integração.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado devagar): se sabemos que
, então
é uma primitiva de
, isto é
onde
é a constante de integração. A constante aparece porque a derivada de uma constante é zero, então várias funções diferentes (que diferem só por uma constante) têm a mesma derivada. Vou aplicar essa ideia ao nosso
. Também uso a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.
Passo 3
Escrevo a integral da derivada como soma das integrais das parcelas:
Agora vou calcular as duas integrais separadamente, com passos claros.
Passo 4
Integral da primeira parcela
.
Estratégia: uso substituição simples. Defino
Então
Substituindo na integral:
Agora integro uma potência simples:
. Portanto
Voltando a
:
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova): derivo o resultado para confirmar que retorna a integranda. Tomando
temos, por regra da cadeia,
que é exatamente a parcela original. Ótimo — a substituição e a integração estão corretas.
Passo 6
Integral da segunda parcela
.
Regra usada: a primitiva de
é
quando
. No nosso caso
, então
Verificação rápida:
, confere.
Passo 7
Somando as duas primitivas e adicionando a constante de integração
, obtemos a família geral de soluções:
Isto responde o item (a): todas as funções cuja derivada é a dada são as acima, para algum
real.
Passo 8
Agora o item (b): entre essas funções, encontrar a única que satisfaz
.
Calculo
usando a expressão geral:
Avalio cada termo:
, então
. E
. Logo
Somando
, temos
A condição
implica
Isolando
:
Passo 9
Substituo o valor de
na expressão geral para obter a única função que atende
:
Posso checar rapidamente: ao calcular
voltamos a
e
continua sendo a dada no enunciado, então tudo está consistente.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)