( 10 pontos) Faça o que se pede:
(a) Descubra todas as funções f(x) tais que:
f^{\prime}(x)=x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}+e^{-x}
(b) Entre as funções do item anterior, descubra a única tal que:
f(0)=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar todas as funções f(x) tais que
f^{\prime}(x)=x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}+e^{-x}.
(b) Entre as funções do item (a), achar a única que satisfaz f(0)=1.
Informações relevantes dadas:
  • Foi fornecida a derivada f^{\prime}(x) em função de x.
  • Para (a) devemos encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função; para (b) devemos usar a condição inicial f(0)=1 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado devagar): se sabemos que f'(x)=g(x), então f(x) é uma primitiva de g, isto é
f(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. A constante aparece porque a derivada de uma constante é zero, então várias funções diferentes (que diferem só por uma constante) têm a mesma derivada. Vou aplicar essa ideia ao nosso g(x)=x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}+e^{-x}. Também uso a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Escrevo a integral da derivada como soma das integrais das parcelas:
f(x)=\int \left[x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}+e^{-x}\right]dx = \int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}\,dx + \int e^{-x}\,dx + C.
Agora vou calcular as duas integrais separadamente, com passos claros.

Passo 4

Integral da primeira parcela \displaystyle \int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}\,dx.
Estratégia: uso substituição simples. Defino
u = x^{3}-1.
Então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral:
\int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}\,dx = \int \left(u^{8}\right)\left(\frac{1}{3}\,du\right) = \frac{1}{3}\int u^{8}\,du.
Agora integro uma potência simples: \int u^{8}\,du = \dfrac{u^{9}}{9}. Portanto
\int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{9}}{9} = \frac{u^{9}}{27}.
Voltando a x:
\int x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{8}\,dx = \frac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27}.

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova): derivo o resultado para confirmar que retorna a integranda. Tomando
g_1(x)=\frac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27},
temos, por regra da cadeia,
g_1'(x)=\frac{9}{27}\left(x^{3}-1\right)^{8}\cdot 3x^{2}=\left(x^{3}-1\right)^{8}x^{2},
que é exatamente a parcela original. Ótimo — a substituição e a integração estão corretas.

Passo 6

Integral da segunda parcela \displaystyle \int e^{-x}\,dx.
Regra usada: a primitiva de e^{ax} é \dfrac{1}{a}e^{ax} quando a\neq 0. No nosso caso a=-1, então
\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1}e^{-x} = -e^{-x}.
Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\left(-e^{-x}\right) = -(-e^{-x}) = e^{-x}, confere.

Passo 7

Somando as duas primitivas e adicionando a constante de integração C, obtemos a família geral de soluções:
f(x)=\frac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27}-e^{-x}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.
Isto responde o item (a): todas as funções cuja derivada é a dada são as acima, para algum C real.

Passo 8

Agora o item (b): entre essas funções, encontrar a única que satisfaz f(0)=1.
Calculo f(0) usando a expressão geral:
f(0)=\frac{\left(0^{3}-1\right)^{9}}{27}-e^{0}+C.
Avalio cada termo: 0^{3}-1=-1, então \left(-1\right)^{9}=-1. E e^{0}=1. Logo
f(0)=\frac{-1}{27}-1+C = C - 1 - \frac{1}{27}.
Somando -1 - \dfrac{1}{27} = -\dfrac{28}{27}, temos
f(0)=C - \frac{28}{27}.
A condição f(0)=1 implica
C - \frac{28}{27} = 1.
Isolando C:
C = 1 + \frac{28}{27} = \frac{27}{27} + \frac{28}{27} = \frac{55}{27}.

Passo 9

Substituo o valor de C na expressão geral para obter a única função que atende f(0)=1:
f(x)=\frac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27}-e^{-x}+\frac{55}{27}.
Posso checar rapidamente: ao calcular f(0) voltamos a 1 e f'(x) continua sendo a dada no enunciado, então tudo está consistente.

Resposta

(a) f(x)=\dfrac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27}-e^{-x}+C,\; C\in\mathbb{R}.\n
(b) f(x)=\dfrac{\left(x^{3}-1\right)^{9}}{27}-e^{-x}+\dfrac{55}{27}.

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