(10,0 pontos) Calcule:
integral e^x cdot cos (x) d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular integral e^xcos(x),dx. O conteúdo é integração por partes, que usa o teorema integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Definimos I = integral e^xcos(x),dx. Para a primeira aplicação, escolhemos u = cos(x) e dv = e^xdx, de modo que du = -sin(x),dx e v = e^x. Substituindo, obtemos
I = e^xcos(x) + integral e^xsin(x),dx
Chamamos a nova integral de J, isto é, J = integral e^xsin(x),dx.

Passo 3

Para calcular J, aplicamos integração por partes com u = sin(x) e dv = e^xdx, o que dá du = cos(x),dx e v = e^x. Isso resulta em
J = e^xsin(x) - I

Passo 4

Substituindo J em I = e^xcos(x) + J, temos
I = e^xcos(x) + e^xsin(x) - I
Somando I dos dois lados, obtemos
2I = e^x(cos(x) + sin(x))
Agora isolamos I e adicionamos a constante de integração C.

Resposta

e^x2(cos(x) + sin(x)) + C

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