Esboce as seguintes regiões no espaço:
(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= x^2-y^2

Passo 1

A questão pede para desenharmos no espaço 3D o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x² – y². O conteúdo central aqui é geometria de quádricas (a superfície z = x² – y²) e projeção da região no plano xy para entender onde essa desigualdade faz sentido.

Passo 2

Para começar a resolver, note que temos z ≥ 0 e z ≤ x² – y². Como z ≥ 0 e z ≤ x² – y² simultaneamente, obrigatoriamente x² – y² ≥ 0. Isso significa que
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x^2 - y^2 >= 0 implies y^2 <= x^2 implies y <= x (pois y>=0 e x>=0)

Passo 3

Isso restringe a projeção da região no plano xy ao triângulo T definido por
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T = (x,y): 0 <= y <= x <= 1

Passo 4

Para cada ponto (x,y) em T, z varia de 0 até a superfície z = x² – y². Ou seja, o sólido é formado por todas as “retas” verticais acima de cada (x,y)∈T que vão de z=0 até z=x²–y².

Passo 5

Agora vamos descrever as fronteiras do sólido:
– A face inferior é o plano z=0 sobre o triângulo T.
– A face superior é a parte da superfície hiperbólica parabólica
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z = x^2 - y^2, 0 <= y <= x <= 1

Passo 6

– As faces laterais em projeção são: x=0 (mas aí x=0 implica y=0 e z=0), y=0 sobre 0≤x≤1 (aqui z vai de 0 até x²), x=1 com 0≤y≤1 (aqui z de 0 até 1–y²) e y=x no intervalo 0≤x≤1 (aqui z=0).
Na prática, para esboçar: 1) desenhe o triângulo T no plano xy; 2) trace o plano z=0; 3) sobre esse triângulo, levante uma “fachada” curva dada por z = x² – y²; 4) marque as arestas em x=1, y=0 e y=x.

Passo 7

O resultado visual é um “sólido” de base triangular (em T) e topo definido pela parte positiva da sela hiperbólica z = x² – y².
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Resposta

O sólido é formado pelos pontos sob a sela hiperbólica z=x^2-y^2 e acima de z=0, projetado no triângulo 0<= y<= x<=1. Em outras palavras, é o volume descrito por
0<= x<=1, 0<= y<= x, 0<= z<= x^2-y^2
que se esboça como uma base triangular no plano xy e um topo curvo dado pela superfície hiperbólica parabólica.

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