Esboce as seguintes regiões no espaço:
Passo 1
A questão pede para desenharmos no espaço 3D o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x² – y². O conteúdo central aqui é geometria de quádricas (a superfície z = x² – y²) e projeção da região no plano xy para entender onde essa desigualdade faz sentido.
Passo 2
Para começar a resolver, note que temos z ≥ 0 e z ≤ x² – y². Como z ≥ 0 e z ≤ x² – y² simultaneamente, obrigatoriamente x² – y² ≥ 0. Isso significa que
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Passo 3
Isso restringe a projeção da região no plano xy ao triângulo T definido por
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Passo 4
Para cada ponto (x,y) em T, z varia de 0 até a superfície z = x² – y². Ou seja, o sólido é formado por todas as “retas” verticais acima de cada (x,y)∈T que vão de z=0 até z=x²–y².
Passo 5
Agora vamos descrever as fronteiras do sólido:
– A face inferior é o plano z=0 sobre o triângulo T.
– A face superior é a parte da superfície hiperbólica parabólica
– A face inferior é o plano z=0 sobre o triângulo T.
– A face superior é a parte da superfície hiperbólica parabólica
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Passo 6
– As faces laterais em projeção são: x=0 (mas aí x=0 implica y=0 e z=0), y=0 sobre 0≤x≤1 (aqui z vai de 0 até x²), x=1 com 0≤y≤1 (aqui z de 0 até 1–y²) e y=x no intervalo 0≤x≤1 (aqui z=0).
Na prática, para esboçar: 1) desenhe o triângulo T no plano xy; 2) trace o plano z=0; 3) sobre esse triângulo, levante uma “fachada” curva dada por z = x² – y²; 4) marque as arestas em x=1, y=0 e y=x.
Passo 7
O resultado visual é um “sólido” de base triangular (em T) e topo definido pela parte positiva da sela hiperbólica z = x² – y².
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Resposta
O sólido é formado pelos pontos sob a sela hiperbólica
e acima de
, projetado no triângulo
. Em outras palavras, é o volume descrito por
que se esboça como uma base triangular no plano xy e um topo curvo dado pela superfície hiperbólica parabólica.