(10,0 pontos) Calcule:
integral x^3 cdot e^x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral x^3e^x^2,dx. O conteúdo principal aqui é usar substituição para simplificar a parte e^x^2 e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Vamos fazer a substituição típica quando aparece e^x^2 com um fator x fora. Seja u = x^2. Então temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfracdu2. Note também que x^3dx = x^2cdot x,dx = ucdottfracdu2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral x^3e^x^2,dx = integral l(ucdottfracdu2r)e^u = tfrac12integral u,e^u,du

Passo 4

Agora precisamos calcular integral u,e^u,du. Para isso, usamos integração por partes, lembrando que se I=integral U,dV então I=UV-integral V,dU. Escolhemos U = u e dV = e^u,du, logo dU = du e V = e^u. Assim:
integral u,e^u,du = u,e^u - integral e^u,du = u,e^u - e^u + C

Passo 5

Voltando à nossa integral com o fator tfrac12 e substituindo u=x^2, temos:
tfrac12l(u,e^u - e^ur) + C = tfrac12l(x^2e^x^2 - e^x^2r) + C = x^2-12,e^x^2 + C

Resposta

integral x^3e^x^2,dx = x^2-12,e^x^2 + C

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