(10,0 pontos) Calcule:
integral x^3 cdot ln (x) d x

Passo 1

Neste exercício, a gente quer calcular a integral integral x^3,ln(x),dx. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que serve para integrar produtos de funções. Para isso, vamos usar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Primeiro, escolhemos as partes u e dv pensando em simplificar o trabalho: vamos deixar u = ln(x), porque sua derivada fica simples, e dv = x^3,dx, pois é fácil de integrar. Derivando e integrando, obtemos
du = 1x,dx
e
v = integral x^3,dx = x^44 .

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^3ln(x),dx = u,v - integral v,du = x^44,ln(x) - integral x^44 cdot 1x,dx
No interior da segunda integral, simplificamos o integrando: x^44 cdot 1x = x^34.

Passo 4

Em seguida, calculamos a integral restante:
integral x^34,dx = 14 integral x^3,dx = 14 cdot x^44 = x^416

Passo 5

Por fim, juntamos os resultados e acrescentamos a constante de integração C:
integral x^3ln(x),dx = x^44,ln(x) - x^416 + C

Resposta

x^44,ln(x) - x^416 + C

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