(10,0 pontos) Calcule:
integral x^2 cdot e^x d x

Passo 1

Estamos calculando a integral integral x^2 e^x ,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = x^2 e dv = e^x ,dx. Assim du = 2x ,dx e v = e^x. Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - integral 2x e^x ,dx

Passo 3

Para integral 2x e^x ,dx usamos novamente integração por partes. Tomamos u = 2x e dv = e^x ,dx, logo du = 2 ,dx e v = e^x. Então:
integral 2x e^x ,dx = 2x e^x - integral 2 e^x ,dx

Passo 4

Sabendo que integral 2 e^x ,dx = 2 e^x, concluímos:
integral 2x e^x ,dx = 2x e^x - 2 e^x

Passo 5

Substituindo de volta na primeira parte e incluindo a constante C, temos:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C

Resposta

ex(x2 - 2x + 2) + C

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