Calcule a diferencial (notação clássica) da função
w=e^x^2-y-z^2

Passo 1

A questão pede a diferencial clássica de w = e{x2 - y - z^2}. O conteúdo aqui é diferencial total de uma função de três variáveis, e vamos precisar usar a fórmula
dw = \frac{\partial w}{\partial x},dx + \frac{\partial w}{\partial y},dy + \frac{\partial w}{\partial z},dz.

Passo 2

Para aplicar a fórmula da diferencial total, lembramos que se w = e^u, então \frac{\partial w}{\partial x} = e^u \cdot \frac{\partial u}{\partial x}. Aqui temos u(x,y,z) = x^2 - y - z^2.

Passo 3

Vamos calcular \frac{\partial w}{\partial x}. Temos
partial upartial x = 2x
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partial wpartial x = e^x^2 - y - z^2 cdot 2x = 2x,e^x^2 - y - z^2

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial w}{\partial y}. Como
partial upartial y = -1
segue que
partial wpartial y = e^x^2 - y - z^2 cdot (-1) = -e^x^2 - y - z^2

Passo 5

Em seguida, \frac{\partial w}{\partial z} vem de
partial upartial z = -2z
portanto
partial wpartial z = e^x^2 - y - z^2 cdot (-2z) = -2z,e^x^2 - y - z^2

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo na fórmula da diferencial total: dw = \frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz, gerando a expressão abaixo.

Resposta

dw = 2x,e^x^2 - y - z^2,dx ;- e^x^2 - y - z^2,dy ;- 2z,e^x^2 - y - z^2,dz

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