(10 pontos). Um canhāo dispara um projétil com velocidade
e um ângulo
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo o terreno plano e que a resistência do ar é desprezivel? Considere a aceleração da gravidade g e expresse o resultado em termos apenas dos parâmetros do enunciado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um canhão que dispara um projétil com velocidade inicial $ V_{0} $ e um ângulo $ \theta_{0} $ em relação à horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos para completamente e cai verticalmente, e queremos saber a distância que o outro fragmento percorre até cair no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Projetil e Conservação de Momento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a altura máxima que o projétil alcança. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero. A fórmula para a altura máxima $ h $ é:
Onde:
- $ V_{0} $ é a velocidade inicial,
- $ \theta_{0} $ é o ângulo de lançamento,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
No ponto mais alto, o projétil está com velocidade apenas na horizontal, que é:
Essa é a velocidade horizontal que ele possui antes da explosão.
Passo 4
Quando a explosão ocorre, o projétil se divide em dois fragmentos de massas iguais. Vamos chamar a massa total de $ m $. Cada fragmento, então, tem massa $ \frac{m}{2} $.
Passo 5
Aplicando a Conservação de Momento na direção horizontal, temos que o momento total antes da explosão deve ser igual ao momento total após a explosão.
Antes da explosão:
Após a explosão, um fragmento tem velocidade zero, então:
Igualando os momentos:
Simplificando:
Então, o segundo fragmento continua com o dobro da velocidade horizontal original.
Passo 6
Agora, precisamos calcular o tempo que o segundo fragmento leva para cair do ponto mais alto até o solo. Usando a altura $ h $ que calculamos no passo 2, o tempo de queda $ t $ é:
Passo 7
Com o tempo de queda conhecido e a velocidade horizontal do segundo fragmento ($ V’ = 2 V_{0} \cos \theta_{0} $), podemos calcular a distância adicional que ele percorre após a explosão:
Passo 8
Antes da explosão, o projétil já percorreu uma distância até o ponto mais alto da trajetória. Essa distância $ d_{apex} $ é:
Passo 9
A distância total $ D $ que o segundo fragmento percorre até cair no chão é a soma da distância até o ápice e a distância adicional após a explosão:
Resposta
A distância que o segundo fragmento cai é: