O modelo atômico de Bohr, apresentado em 1913, introduziu a importante ideia da quantização da energia no estudo da matéria. Com seu modelo, foi possível explicar com sucesso os espectros de absorção atômica para o hidrogênio.
Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita ( n=1 ) e os íon hidrogenóides de número atômico Z=3 e Z=94.
Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o modelo atômico de Bohr, que é uma forma de entender como os elétrons se movimentam ao redor do núcleo dos átomos. A gente vai focar na primeira órbita, onde o elétron está mais próximo do núcleo (n = 1), e vamos calcular a velocidade do elétron para íons hidrogenóides com número atômico Z = 3 e Z = 94. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas do modelo de Bohr e entender um pouco sobre energia potencial de atração entre o elétron e o núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que nos dá a velocidade do elétron na órbita de Bohr. A velocidade $ v_n $ do elétron na $ n $-ésima órbita é dada por:
vn
Aqui:
  • $ Z $ é o número atômico (no nosso caso, 3 e 94),
  • $ e $ é a carga do elétron ($ 1,602 \times 10^{-19} $ C),
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ 8,854 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)),
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ n $ é o número da órbita (aqui, 1).
Essa fórmula nos mostra que a velocidade do elétron aumenta com o aumento de $ Z $ e diminui com o aumento de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade para Z = 3. Substituindo os valores na fórmula:
v1 = 3 times (1,602 times 10^-19 , C)^22 times (8,854 times 10^-12 , C^2/N·m^2) times (6,626 times 10^-34 , J·s) times 1
Fazendo as contas:
v1 approx 3 times 2,566 times 10^-382 times 8,854 times 10^-12 times 6,626 times 10^-34 approx 7,698 times 10^-381,172 times 10^-44 approx 6,57 times 10^6 , m/s
Então, a velocidade do elétron para Z = 3 é aproximadamente $ 6,57 \times 10^{6} $ m/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular para Z = 94:
v1 = 94 times (1,602 times 10^-19 , C)^22 times (8,854 times 10^-12 , C^2/N·m^2) times (6,626 times 10^-34 , J·s) times 1
Calculando:
v1 approx 94 times 2,566 times 10^-381,172 times 10^-44 approx 2,414 times 10^-361,172 times 10^-44 approx 2,06 times 10^8 , m/s
Portanto, a velocidade do elétron para Z = 94 é aproximadamente $ 2,06 \times 10^{8} $ m/s.

Passo 5

Agora, vamos discutir as diferenças observadas. Note que conforme o número atômico $ Z $ aumenta, a velocidade do elétron também aumenta. Isso acontece porque um núcleo mais carregado (maior $ Z $) exerce uma força de atração maior sobre o elétron, o que faz com que o elétron se mova mais rápido para manter a estabilidade na órbita. Além disso, a energia potencial de atração entre o elétron e o núcleo aumenta à medida que $ Z $ aumenta, já que a força elétrica é proporcional a $ Z $. Isso significa que elétrons em íons com núcleos mais carregados estão mais fortemente ligados e se movem com velocidades maiores.

Resposta

A velocidade do elétron na primeira órbita é aproximadamente $ 6,57 \times 10^{6} $ m/s para Z = 3 e $ 2,06 \times 10^{8} $ m/s para Z = 94.

Exercícios relacionados