O modelo atômico de Bohr, apresentado em 1913, introduziu a importante ideia da quantização da energia no estudo da matéria. Com seu modelo, foi possível explicar com sucesso os espectros de absorção atômica para o hidrogênio.
Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita (
) e os íon hidrogenóides de número atômico
e
.
Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.
Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita (
Calcule as velocidades para o elétron em cada caso. Discuta eventuais diferenças considerando qualitativamente as energias potenciais de atração elétron-núcleo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o modelo atômico de Bohr, que é uma forma de entender como os elétrons se movimentam ao redor do núcleo dos átomos. A gente vai focar na primeira órbita, onde o elétron está mais próximo do núcleo (n = 1), e vamos calcular a velocidade do elétron para íons hidrogenóides com número atômico Z = 3 e Z = 94. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas do modelo de Bohr e entender um pouco sobre energia potencial de atração entre o elétron e o núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que nos dá a velocidade do elétron na órbita de Bohr. A velocidade $ v_n $ do elétron na $ n $-ésima órbita é dada por:
Aqui:
- $ Z $ é o número atômico (no nosso caso, 3 e 94),
- $ e $ é a carga do elétron ($ 1,602 \times 10^{-19} $ C),
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ 8,854 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)),
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
- $ n $ é o número da órbita (aqui, 1).
Essa fórmula nos mostra que a velocidade do elétron aumenta com o aumento de $ Z $ e diminui com o aumento de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade para Z = 3. Substituindo os valores na fórmula:
Fazendo as contas:
Então, a velocidade do elétron para Z = 3 é aproximadamente $ 6,57 \times 10^{6} $ m/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular para Z = 94:
Calculando:
Portanto, a velocidade do elétron para Z = 94 é aproximadamente $ 2,06 \times 10^{8} $ m/s.
Passo 5
Agora, vamos discutir as diferenças observadas. Note que conforme o número atômico $ Z $ aumenta, a velocidade do elétron também aumenta. Isso acontece porque um núcleo mais carregado (maior $ Z $) exerce uma força de atração maior sobre o elétron, o que faz com que o elétron se mova mais rápido para manter a estabilidade na órbita. Além disso, a energia potencial de atração entre o elétron e o núcleo aumenta à medida que $ Z $ aumenta, já que a força elétrica é proporcional a $ Z $. Isso significa que elétrons em íons com núcleos mais carregados estão mais fortemente ligados e se movem com velocidades maiores.
Resposta
A velocidade do elétron na primeira órbita é aproximadamente $ 6,57 \times 10^{6} $ m/s para Z = 3 e $ 2,06 \times 10^{8} $ m/s para Z = 94.