Q2. (10 pontos) Considere uma região contendo gás de átomos formados pelo núcleo do criptônio mais um elétron, i. e. \mathrm{Kr}^{35+}. A temperatura dos átomos é baixa o suficiente de modo que a maioria dos átomos estão nos estados de energia correspondendo ao número quântico n igual a 1,2 ou 3. Os estados de energia desses átomos, que têm número atômico Z=36, podem ser aproximados por
E_{n} \approx-Z^{2} \times \frac{13,6}{n^{2}} \mathrm{eV}, \quad n=1,2,3, \ldots
Dados: E=h \nu=h c / \lambda ; h c=1240 \mathrm{eV} \cdot \mathrm{nm} \mathrm{e} h \approx 4,1 \times 10^{-15} \mathrm{eV} \cdot \mathrm{s}.
a)(3 pontos) Qual seria o valor aproximado do comprimento de onda da luz emitida pelos átomos do gás nos processos de transição do estado de energia n=3 para o estado de energia n=2 ? Tome que a energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo de transição. b)(3 pontos) Se as transições no item anterior fossem do estado de energia, n=2, para o nível de energia fundamental, i. e. n=1, a frequência da luz emitida seria maior ou menor do que a do item a)? Sua resposta deve ser justificada.
c)(4 pontos) Qual deve ser o máximo comprimento de onda que uma luz deve ter para que possa ionizar qualquer átomo do gás?

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados importantes do enunciado:
\text{átomos: } \mathrm{Kr}^{35+},\qquad Z=36á
\text{níveis de energia aproximados: } E_n \approx -Z^{2}\times\frac{13,6}{n^{2}}\\ \mathrm{eV},\quad n=1,2,3,\ldotsí
h c = 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm},\qquad h\approx 4,1\times10^{-15}\\ \mathrm{eV\cdot s}
Assunção do enunciado: velocidade / energia cinética do átomo antes e depois da transição podem ser desprezadas (isto é, toda a diferença de energia vai para o fóton).
Perguntas:
a) Qual o comprimento de onda aproximado da luz emitida na transição n=3\to n=2? (3 pontos)
b) Se a transição fosse n=2\to n=1, a frequência da luz emitida seria maior ou menor que no item (a)? Justifique. (3 pontos)
c) Qual o máximo comprimento de onda que a luz pode ter para ionizar qualquer átomo do gás? (4 pontos)

Passo 2

Revisão das fórmulas físicas e relações que vamos usar (aulas rápidas, mastigadas):
  • Quando um elétron faz uma transição de um nível n_i para um nível n_f (com n_i>n_f), a energia do fóton emitido é a diferença entre as energias dos níveis:
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}\quad(\text{energia do fóton, em eV})ó
  • A energia de um fóton relaciona-se com sua frequência \nu e comprimento de onda \lambda por:
E = h\nu = \frac{h c}{\lambda}
Aqui h é a constante de Planck e c a velocidade da luz; como fomos dados h c em unidades convenientes, usaremos \displaystyle E\\ (\mathrm{eV})=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda\\ (\mathrm{nm})}.
  • Portanto, para obter \lambda a partir de \Delta E em eV:
\lambda\\ (\mathrm{nm}) = \frac{1240}{\Delta E\\ (\mathrm{eV})}.
Explicação de porque isto funciona: a diferença de energia entre níveis do átomo vira o fóton; maior diferença de energia significa fóton de maior energia, e como E=h\nu, maior E implica maior \nu. Como \lambda=c/\nu, maior \nu implica menor \lambda. Ou seja: energia ↑ → frequência ↑ → comprimento de onda ↓.

Passo 3

Aplicando a fórmula dos níveis para calcular E_3 e E_2 para este átomo ( Z=36) — vou mostrar as contas passo a passo.
Primeiro calcule Z^{2}:
Z^{2}=36^{2}=1296.
Agora E_3:
E_3 \approx -Z^{2}\times\frac{13,6}{3^{2}} = -1296\times\frac{13,6}{9}.
Calcule \displaystyle \frac{1296}{9}=144. Então
E_3 \approx -144\times13,6 = -1958,4\\ \mathrm{eV}.
(Só multiplicação: 13,6\times144 = 13,6\times(100+44)=1360+598,4=1958,4.)
Agora E_2:
E_2 \approx -1296\times\frac{13,6}{2^{2}} = -1296\times\frac{13,6}{4}.
Calcule \displaystyle \frac{1296}{4}=324. Então
E_2 \approx -324\times13,6 = -4406,4\\ \mathrm{eV}.
(Verificação: 13,6\times324 = 13,6\times(300+24)=4080+326,4=4406,4.)

Passo 4

Resolver (a): energia do fóton para a transição n=3\to n=2.
A energia do fóton é a diferença:
\Delta E_{3\to2} = E_3 - E_2 = (-1958,4)-(-4406,4)=2448,0\\ \mathrm{eV}.
Agora uso \lambda = \dfrac{1240}{\Delta E} em nm:
\lambda_{3\to2} = \frac{1240}{2448,0}\\ \mathrm{nm} \approx 0,50656\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\lambda_{3\to2} \approx 0,507\\ \mathrm{nm}.
Interpretação curta: esse comprimento está na região de raios X brandos (compl. de ordem de décimos de nm).

Passo 5

Resolver (b): comparar a frequência da transição n=2\to n=1 com a do item (a). Primeiro calcule E_1 e a diferença E_2-E_1.
Calcule E_1:
E_1 \approx -Z^{2}\times\frac{13,6}{1^{2}} = -1296\times13,6 = -17625,6\\ \mathrm{eV}.
Agora a energia liberada em 2\to1:
\Delta E_{2\to1} = E_2 - E_1 = (-4406,4)-(-17625,6)=13219,2\\ \mathrm{eV}.
Comparação de energias:
\Delta E_{2\to1}=13219,2\\ \mathrm{eV} > \Delta E_{3\to2}=2448,0\\ \mathrm{eV}.
Como a frequência do fóton satisfaz \nu = \dfrac{E}{h} (com h constante), maior energia significa maior frequência. Portanto a frequência da transição n=2\to n=1 é maior do que a frequência da transição n=3\to n=2.
Se quiser ver o comprimento de onda correspondente para intuição:
\lambda_{2\to1}=\frac{1240}{13219,2}\\ \mathrm{nm}\approx0,0938\\ \mathrm{nm},
que é menor que 0,507\\ \mathrm{nm}, consistente com frequência maior.

Passo 6

Resolver (c): máximo comprimento de onda capaz de ionizar qualquer átomo do gás.
Explicação: para ionizar um átomo completamente (tirar o elétron do nível fundamental n=1 para n=\infty), o fóton precisa ter pelo menos a energia igual à energia de ligação do elétron no nível n=1, que é -E_1 (valor positivo). Assim a energia mínima do fóton para ionizar é
E_{\text{ion}} = -E_1 = 17625,6\\ \mathrm{eV}.
O maior comprimento de onda correspondente (limiar) é
\lambda_{\max} = \frac{1240}{E_{\text{ion}}} = \frac{1240}{17625,6}\\ \mathrm{nm}\approx 0,07036\\ \mathrm{nm}.
Arredondando:
\lambda_{\max} \approx 0,0704\\ \mathrm{nm}.
Interpretação: qualquer fóton com \lambda \le \lambda_{\max} (energia \ge E_{\text{ion}}) pode ionizar um átomo no estado fundamental. Comprimentos maiores não têm energia suficiente.

Resposta

a) \lambda_{3\to2}\approx 0,507\\ \mathrm{nm}
b) A frequência seria maior (a transição 2\to1 libera \Delta E maior, logo \nu=E/h é maior).
c) \lambda_{\max}\approx 0,0704\\ \mathrm{nm}

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