Q2. (10 pontos) Considere uma região contendo gás de átomos formados pelo núcleo do criptônio mais um elétron, i. e.
. A temperatura dos átomos é baixa o suficiente de modo que a maioria dos átomos estão nos estados de energia correspondendo ao número quântico
igual a 1,2 ou 3. Os estados de energia desses átomos, que têm número atômico
, podem ser aproximados por
Dados:
.
a)(3 pontos) Qual seria o valor aproximado do comprimento de onda da luz emitida pelos átomos do gás nos processos de transição do estado de energia
para o estado de energia
? Tome que a energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo de transição. b)(3 pontos) Se as transições no item anterior fossem do estado de energia,
, para o nível de energia fundamental, i. e.
, a frequência da luz emitida seria maior ou menor do que a do item a)? Sua resposta deve ser justificada.
c)(4 pontos) Qual deve ser o máximo comprimento de onda que uma luz deve ter para que possa ionizar qualquer átomo do gás?
a)(3 pontos) Qual seria o valor aproximado do comprimento de onda da luz emitida pelos átomos do gás nos processos de transição do estado de energia
c)(4 pontos) Qual deve ser o máximo comprimento de onda que uma luz deve ter para que possa ionizar qualquer átomo do gás?
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados importantes do enunciado:
Assunção do enunciado: velocidade / energia cinética do átomo antes e depois da transição podem ser desprezadas (isto é, toda a diferença de energia vai para o fóton).
Perguntas:
a) Qual o comprimento de onda aproximado da luz emitida na transição ? (3 pontos)
b) Se a transição fosse , a frequência da luz emitida seria maior ou menor que no item (a)? Justifique. (3 pontos)
c) Qual o máximo comprimento de onda que a luz pode ter para ionizar qualquer átomo do gás? (4 pontos)
a) Qual o comprimento de onda aproximado da luz emitida na transição
b) Se a transição fosse
c) Qual o máximo comprimento de onda que a luz pode ter para ionizar qualquer átomo do gás? (4 pontos)
Passo 2
Revisão das fórmulas físicas e relações que vamos usar (aulas rápidas, mastigadas):
- Quando um elétron faz uma transição de um nível
para um nível (com ), a energia do fóton emitido é a diferença entre as energias dos níveis:
- A energia de um fóton relaciona-se com sua frequência
e comprimento de onda por:
Aqui
é a constante de Planck e
a velocidade da luz; como fomos dados
em unidades convenientes, usaremos
.
- Portanto, para obter
a partir de em eV:
Explicação de porque isto funciona: a diferença de energia entre níveis do átomo vira o fóton; maior diferença de energia significa fóton de maior energia, e como
, maior
implica maior
. Como
, maior
implica menor
. Ou seja: energia ↑ → frequência ↑ → comprimento de onda ↓.
Passo 3
Aplicando a fórmula dos níveis para calcular
e
para este átomo (
) — vou mostrar as contas passo a passo.
Primeiro calcule
:
Agora
:
Calcule
. Então
(Só multiplicação:
.)
Agora
:
Calcule
. Então
(Verificação:
.)
Passo 4
Resolver (a): energia do fóton para a transição
.
A energia do fóton é a diferença:
Agora uso
em nm:
Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação curta: esse comprimento está na região de raios X brandos (compl. de ordem de décimos de nm).
Passo 5
Resolver (b): comparar a frequência da transição
com a do item (a). Primeiro calcule
e a diferença
.
Calcule
:
Agora a energia liberada em
:
Comparação de energias:
Como a frequência do fóton satisfaz
(com
constante), maior energia significa maior frequência. Portanto a frequência da transição
é maior do que a frequência da transição
.
Se quiser ver o comprimento de onda correspondente para intuição:
que é menor que
, consistente com frequência maior.
Passo 6
Resolver (c): máximo comprimento de onda capaz de ionizar qualquer átomo do gás.
Explicação: para ionizar um átomo completamente (tirar o elétron do nível fundamental
para
), o fóton precisa ter pelo menos a energia igual à energia de ligação do elétron no nível
, que é
(valor positivo). Assim a energia mínima do fóton para ionizar é
O maior comprimento de onda correspondente (limiar) é
Arredondando:
Interpretação: qualquer fóton com
(energia
) pode ionizar um átomo no estado fundamental. Comprimentos maiores não têm energia suficiente.
Resposta
a)
b) A frequência seria maior (a transição libera
maior, logo
é maior).
c)
b) A frequência seria maior (a transição
c)