(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
A questão define a função
e pede para mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Esse tema entra na parte de análise real: aproveitamos que polinômios são contínuos e depois aplicamos o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano).
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
. Vamos avaliar em dois pontos distintos e ver mudança de sinal:
Passo 3
Como
e
e
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe um
tal que
. Portanto há pelo menos uma raiz real.
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz real em algum
pelo Teorema do Valor Intermediário.