(10 pontos) Considere a função f(x)=x^6-x^2+9 x-1. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

A questão define a função f(x)=x^6-x^2+9x-1 e pede para mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Esse tema entra na parte de análise real: aproveitamos que polinômios são contínuos e depois aplicamos o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano).

Passo 2

Como f(x) é um polinômio, ela é contínua em todo R. Vamos avaliar em dois pontos distintos e ver mudança de sinal:
f(0)=0^6-0^2+9cdot0-1=-1<0
f(1)=1^6-1^2+9cdot1-1=1-1+9-1=8>0

Passo 3

Como f(0)<0 e f(1)>0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe um cin(0,1) tal que f(c)=0. Portanto há pelo menos uma raiz real.

Resposta

A função f(x) possui pelo menos uma raiz real em algum cin(0,1) pelo Teorema do Valor Intermediário.

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