(25 pontos) Seja f(x)=raizx+1.
(a) ( 15 pontos) Use a definição de derivada para calcular f^prime(3).
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (3, f(3)).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função $ f(x) = \sqrt{x + 1} $. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a derivada de $ f $ no ponto $ x = 3 $ usando a definição de derivada.
b) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (3, f(3)) $.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f’(3) $ usando a definição de derivada. A definição de derivada de uma função $ f $ no ponto $ x = a $ é:
f'(3)
Aplicando isso para $ a = 3 $:
f
Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador:
x = a
Substituindo $ h = 0 $:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (3, f(3)) $.
Primeiro, calculamos $ f(3) $:
f
A equação da reta tangente é dada por:
(3, f(3))
Substituindo $ a = 3 $, $ f’(3) = \frac{1}{4} $ e $ f(3) = 2 $:
f(3)
Simplificando:
f(3) = raiz3 + 1 = raiz4 = 2

Resposta

a) $ f’(3) = \frac{1}{4} $
b) A equação da reta tangente é $ y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} $

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