(25 pontos) Seja
f(x)=ll a+x sen(1x), & se x>0 1+b, & se x=0 -x-b, & se x<0
(a) (10 pontos) Determine lim x 0^+ f(x) e lim x 0^- f(x)
(b) ( 15 pontos) Determine o valor (ou valores) de a e b para que f seja contínua em 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui envolve limites laterais e continuidade de funções. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como definição de limite e o que significa uma função ser contínua em um ponto. Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a) que pede para determinar os limites de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ 0^{+} f(x) 0^{-} $).
A função dada é:
x
Para $ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) $:
Quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, usamos a expressão $ a + x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) $.
Sabemos que $ \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) $ oscila entre -1 e 1, e multiplicando por $ x $ que está indo para 0, o termo $ x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) $ também vai para 0. Então:
0^+
Para $ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) $:
Quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, usamos a expressão $ -x - b $.
Aqui, $ x $ está indo para 0, então $ -x $ também vai para 0. Logo:
0^-

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde a gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja contínua em 0.
Para que uma função seja contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Ou seja, devemos ter:
a
Sabemos que:
b
E já calculamos os limites laterais:
f
Então, igualando:
  1. $ a = 1 + b $
  2. $ -b = 1 + b $
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação 2:
limx to 0^+ f(x) = f(0) = limx to 0^- f(x)
Substituindo o valor de $ b $ na equação 1:
f(0) = 1 + b

Resposta

(a) limx to 0^+ f(x) = a e limx to 0^- f(x) = -b
(b) Para que f seja contínua em 0, os valores são a = dfrac12 e b = -dfrac12.

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