(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função $ f(x) = x^{3} - x^{2} + x - 4 $ tem pelo menos uma raiz. Isso significa que existe algum valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é um conceito de cálculo que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois valores de $ x $ para avaliar a função $ f(x) $. Vamos começar com $ x = 1 $.
Calculando $ f(1) $:
Então, $ f(1) = -3 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a função para $ x = 2 $.
Calculando $ f(2) $:
Então, $ f(2) = 2 $.
Passo 4
Observamos que $ f(1) = -3 $ e $ f(2) = 2 $. Ou seja, a função muda de negativo para positivo entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Passo 5
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de valor negativo para positivo em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo $ x $ nesse intervalo. Isso significa que existe pelo menos um valor de $ x $ entre 1 e 2 onde $ f(x) = 0 $.
Resposta
Portanto, a função $ f(x) = x^{3} - x^{2} + x - 4 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.