(10 pontos) Considere a função f(x)=x^3-x^2+x-4. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função $ f(x) = x^{3} - x^{2} + x - 4 $ tem pelo menos uma raiz. Isso significa que existe algum valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é um conceito de cálculo que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois valores de $ x $ para avaliar a função $ f(x) $. Vamos começar com $ x = 1 $.
Calculando $ f(1) $:
x
Então, $ f(1) = -3 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a função para $ x = 2 $.
Calculando $ f(2) $:
x = 2
Então, $ f(2) = 2 $.

Passo 4

Observamos que $ f(1) = -3 $ e $ f(2) = 2 $. Ou seja, a função muda de negativo para positivo entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Passo 5

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de valor negativo para positivo em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo $ x $ nesse intervalo. Isso significa que existe pelo menos um valor de $ x $ entre 1 e 2 onde $ f(x) = 0 $.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = x^{3} - x^{2} + x - 4 $ tem pelo menos uma raiz no intervalo entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

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