Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral cos (theta)1+sen(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos(theta)1+sin(theta),dtheta usando o método de substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição simples, e vamos precisar reconhecer que a derivada de sin(theta) é cos(theta).

Passo 2

Vamos definir a substituição adequada. Seja u = 1 + sin(theta). Aí, derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
du = cos(theta),dtheta

Passo 3

Observe que o numerador da integral original cos(theta),dtheta é exatamente du, e o denominador 1+sin(theta) é u. Então a integral fica
integral cos(theta)1+sin(theta),dtheta = integral duu

Passo 4

Agora aplicamos a integral do tipo integral duu = lnl|ur| + C. Portanto:
integral duu = lnl|ur| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável theta substituindo u = 1 + sin(theta). Assim a resposta é
lnl|1 + sin(theta)r| + C

Resposta

lnl|1 + sin(theta)r| + C

Exercícios relacionados