Utilizando coordenadas esféricas, calcule
[
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x{2}+y{2}}}^{1} d z d y d x
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x{2}+y{2}}}^{1} d z d y d x
Passo 1
Aqui queremos calcular o volume do sólido definido por x indo de –1 a 1, y entre –√(1–x²) e √(1–x²) e z de √(x²+y²) até 1. O conteúdo é integração tripla, e vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região, lembrando que em esféricas temos
(x,y,z) = (ρ sinφ cosθ, ρ sinφ sinθ, ρ cosφ).
Passo 2
A superfície z = √(x²+y²) em esféricas vira ρ cosφ = ρ sinφ ⇒ φ = π/4. A superfície z = 1 vira ρ cosφ = 1 ⇒ ρ = 1/ cosφ. Como o disco em (x,y) é completo, θ varia de 0 a 2π, e φ varia de 0 a π/4.
Passo 3
O elemento de volume é ρ² sinφ dρ dφ dθ. Então montamos o integral triplo em esféricas:
[ ∫_{θ=0}^{2π} ∫_{φ=0}^{π/4} ∫_{ρ=0}^{1/ cosφ} ρ² sinφ dρ dφ dθ ].
Passo 4
Primeiro integramos em ρ mantendo φ e θ fixos. Temos
[ ∫_{0}^{1/ cosφ} ρ² dρ = (1/3)(1/ cosφ)³ = (1/3) sec³φ. ]
O integral fica então
[ (2π/3) ∫_{0}^{π/4} sec³φ sinφ dφ. ]
Passo 5
Para integrar em φ, note que sec³φ sinφ = sinφ/ cos³φ. Fazendo u = cosφ ⇒ du = -sinφ dφ, obtemos
[ ∫_{0}^{π/4} sec³φ sinφ dφ = -∫_{u=1}^{√2/2} u^{-3} du = -[(-1/(2u²))]_{1}^{√2/2} = 1/2. ]
Logo o volume é (2π/3)·(1/2) = π/3.