Calcule os limites
lim x infty(2 x+12 x)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x infty(2 x+12 x)^x. Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente com expressões que envolvem potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites de funções exponenciais quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observe que 2x + 12x pode ser reescrita dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
2x + 12x = 2x2x + 12x = 1 + 12x

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
limx to infty (1 + 12x)^x
Esse tipo de expressão se assemelha à definição do número e, que é e = limn to infty (1 + 1n)^n.

Passo 4

Para manipular nosso limite e fazer com que ele se pareça com a definição de e, vamos reescrever a expressão:
(1 + 12x)^x = [(1 + 12x)^2x]^12
Aqui, elevamos a expressão a 2x e depois aplicamos a raiz quadrada, o que mantém a igualdade.

Passo 5

Agora, analisamos o limite interno:
limx to infty (1 + 12x)^2x
De acordo com a definição de e, sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Aqui, n = 2x, então conforme x tende ao infinito, 2x também tende ao infinito. Portanto:
limx to infty (1 + 12x)^2x = e

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
[limx to infty (1 + 12x)^2x]^12 = e^12 = raize

Resposta

O limite é raize.

Exercícios relacionados