Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se o sistema linear
admite as soluções
e
, então também admite
como solução, quaisquer que sejam os números reais
e
.
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
tenha somente a solução trivial é que
.
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se
e
são soluções do sistema linear
, então
é solução de
.
(e) ( ) Se
é uma matriz invertível tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
(f) ( ) Se
é uma matriz tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
(g) ( ) Se
e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
(h) ( ) Se
é uma solução do sistema
e
é uma solução do sistema
, então
é solução de
.
(i) ( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema
é compatível determinado, então o sistema
é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
não é invertível.
(n) ( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é determinado, então
é linha equivalente à matriz identidade
.
-
Álgebra Linear - Profa. Gláucia A S Miranda
(a) ( ) Se o sistema linear
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
(h) ( ) Se
(i) ( ) Seja
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ( ) Seja
(n) ( ) Seja
Álgebra Linear - Profa. Gláucia A S Miranda
Passo 1
O enunciado pede que decidamos, para cada uma das afirmações (a) a (n), se ela é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Para cada afirmação devemos justificar com um argumento lógico-matemático ou dar um contra-exemplo. Informações relevantes fornecidas (ou implícitas) que vamos usar nas justificativas:
- Um sistema linear é da forma
onde é matriz, vetor incógnita e vetor termo independente. - Sistema homogêneo significa
, ou seja, . - “Compatível determinado” = tem exatamente uma solução; “compatível indeterminado” = tem infinitas soluções; “incompatível” = nenhuma solução.
- Matrizes invertíveis (quando quadradas) têm inversa
e então tem solução única . - Determinante
refere-se a matrizes quadradas e é equivalente a invertível (quando é quadrada).
A resolução de fato começa no Passo 2.
Passo 2
(a) Afirmação: Se o sistema homogêneo
admite as soluções
e
, então também admite
como solução, quaisquer que sejam os números reais
e
.
Justificativa: Use linearidade da multiplicação matricial. Se e
, então, para quaisquer
, temos
Justificativa: Use linearidade da multiplicação matricial. Se
Portanto
é solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (fecho linear do espaço solução).
Passo 3
(b) Afirmação: Uma condição necessária e suficiente para que o sistema homogêneo
tenha somente a solução trivial é que
.
Justificativa: Aqui assumimos, como é habitual, que é quadrada de ordem
(senão
não está definido). Para
quadrada vale o teorema clássico:
se e somente se
é invertível. Se
é invertível, então
implica
, logo a única solução é a trivial. Reciprocamente, se
tem apenas a solução trivial, então as colunas de
são linearmente independentes, o que implica
e portanto
. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (para
quadrada).
Justificativa: Aqui assumimos, como é habitual, que
Passo 4
(c) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
Justificativa: Pelo próprio enunciado homogêneo , substituindo
(o vetor nulo) obtemos
. Logo o vetor nulo é sempre solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Pelo próprio enunciado homogêneo
Passo 5
(d) Afirmação: Se
e
são soluções do sistema homogêneo
, então
é solução de
.
Justificativa: Usando linearidade,
Justificativa: Usando linearidade,
Portanto
é solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Passo 6
(e) Afirmação: Se
é uma matriz invertível tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
Justificativa: Se é invertível e
, multiplica-se à esquerda por
para obter
. Logo as duas matrizes são iguais e os sistemas
e
são exatamente o mesmo sistema; possuem as mesmas soluções. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Se
Passo 7
(f) Afirmação: Se
é uma matriz tal que
, então os sistemas
e
são equivalentes.
Justificativa: Primeiro observar que a igualdade impõe que
seja quadrada (caso contrário os lados teriam dimensões diferentes). Tomando transposta dos dois lados,
Justificativa: Primeiro observar que a igualdade
Comparando com
segue
(ou seja,
é simétrica). Substituindo de volta em
com
obtemos
(idempotência). Assim para qualquer
,
Portanto a equação
é equivalente a
. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (sob a hipótese dada).
Passo 8
(g) Afirmação: Se
e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
Contra-exemplo e justificativa: Em geral não é verdade porque a equação não é linear no sentido de fecho aditivo para o lado direito não-nulo. Considere
Contra-exemplo e justificativa: Em geral não é verdade porque a equação não é linear no sentido de fecho aditivo para o lado direito não-nulo. Considere
As soluções de
são os vetores
para qualquer
. Tome
e
; então ambos satisfazem
. Mas
Logo a afirmação é às vezes falsa. Conclusão: a afirmação é falsa (contra-exemplo mostrado).]
Passo 9
(h) Afirmação: Se
é uma solução do sistema homogêneo
e
é uma solução do sistema
, então
é solução de
.
Justificativa: Use linearidade:
Justificativa: Use linearidade:
Portanto
é solução de
. Isso é a forma padrão de construir a família de soluções: soma de uma solução particular com qualquer solução do homogêneo. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Passo 10
(i) Afirmação: Seja
quadrada de ordem
. Se o sistema
é compatível determinado, então o sistema
é compatível determinado.
Justificativa: Se é compatível determinado então tem exatamente a solução
, então
é invertível (como vimos em (b)). Se
é invertível, então para qualquer
existe única solução
. Portanto
é compatível determinado. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Se
Passo 11
(j) Afirmação: Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
Contra-exemplo e justificativa: Nem sempre. Pode ocorrer que o sistema seja incompatível (nenhuma solução). Por exemplo, com menos equações que incógnitas tome
Contra-exemplo e justificativa: Nem sempre. Pode ocorrer que o sistema seja incompatível (nenhuma solução). Por exemplo, com menos equações que incógnitas tome
O sistema é
, o que é impossível; portanto é incompatível. Logo a afirmação é às vezes falsa. Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 12
(k) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
Justificativa: Em um sistema homogêneo sempre existe a solução trivial
. Além disso, se o número de equações
é menor que o número de incógnitas
, então o posto da matriz
satisfaz
. Logo
, o que implica que as colunas são linearmente dependentes e existe espaço não trivial de soluções; portanto existem infinitas soluções (compatível indeterminado). Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Em um sistema homogêneo
Passo 13
(l) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
Contra-exemplo e justificativa: Isso é falso porque sistemas homogêneos nunca são incompatíveis (o vetor nulo sempre satisfaz ). Por exemplo, considere uma matriz
com duas equações e uma incógnita
Contra-exemplo e justificativa: Isso é falso porque sistemas homogêneos nunca são incompatíveis (o vetor nulo sempre satisfaz
leva a
em ambas as equações; o sistema tem pelo menos a solução
. Portanto a afirmação é às vezes falsa (na verdade sempre falsa). Conclusão: a afirmação é falsa.]
Passo 14
(m) Afirmação: Seja
quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
não é invertível.
Justificativa: Se fosse invertível, então para qualquer
existiría a solução
, e o sistema seria compatível. Portanto, se existe algum
para o qual
é incompatível, isso impede
de ser invertível. Outra maneira: incompatibilidade significa que a matriz aumentada
tem posto maior que o posto de
; então
, logo
não tem posto máximo e não é invertível. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Se
Passo 15
(n) Afirmação: Seja
quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é determinado, então
é linha-equivalente à matriz identidade
.
Justificativa: Se é determinado então a única solução é
, o que implica que
(colunas linearmente independentes). Para uma matriz quadrada de posto
vale que ela é invertível. Matrizes invertíveis são equivalentes por operações elementares de linha à matriz identidade
(essa é exatamente a ideia de obtenção da inversa por eliminação de Gauss). Portanto
é linha-equivalente a
. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.
Justificativa: Se
Resposta
(a) Sempre verdadeira.
(b) Sempre verdadeira (assumindo quadrada).
(c) Sempre verdadeira.
(d) Sempre verdadeira.
(e) Sempre verdadeira.
(f) Sempre verdadeira.
(g) Às vezes falsa.
(h) Sempre verdadeira.
(i) Sempre verdadeira.
(j) Às vezes falsa.
(k) Sempre verdadeira.
(l) Às vezes falsa.
(m) Sempre verdadeira.
(n) Sempre verdadeira.
(b) Sempre verdadeira (assumindo
(c) Sempre verdadeira.
(d) Sempre verdadeira.
(e) Sempre verdadeira.
(f) Sempre verdadeira.
(g) Às vezes falsa.
(h) Sempre verdadeira.
(i) Sempre verdadeira.
(j) Às vezes falsa.
(k) Sempre verdadeira.
(l) Às vezes falsa.
(m) Sempre verdadeira.
(n) Sempre verdadeira.