Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se o sistema linear A X=0 admite as soluções X_{1} e X_{2}, então também admite k_{1} X_{1}+k_{2} X_{2} como solução, quaisquer que sejam os números reais k_{1} e k_{2}.
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear A X=0 tenha somente a solução trivial é que \operatorname{det} A \neq 0.
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se X_{1} e X_{2} são soluções do sistema linear A X=0, então X_{1}-X_{2} é solução de A X=0.
(e) ( ) Se C é uma matriz invertível tal que C A=C B, então os sistemas lineares A X=b e B X=b são equivalentes.
(f) ( ) Se A é uma matriz tal que A^{T} A=A, então os sistemas lineares A X=B e A^{2} X=B são equivalentes.
(g) ( ) Se X_{1} e X_{2} são soluções do sistema A X=B, então X_{1}+X_{2} é solução de A X=B.
(h) ( ) Se X_{0} é uma solução do sistema A X=0 e X_{1} é uma solução do sistema A X=B, então X_{0}+X_{1} é solução de A X=B.
(i) ( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema A X=0 é compatível determinado, então o sistema A X=B é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=B é incompatível, então a matriz A não é invertível.
(n) ( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=0 é determinado, então A é linha equivalente à matriz identidade I_{n}.

  1. { }^{5} Álgebra Linear - Profa. Gláucia A S Miranda

Passo 1

O enunciado pede que decidamos, para cada uma das afirmações (a) a (n), se ela é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Para cada afirmação devemos justificar com um argumento lógico-matemático ou dar um contra-exemplo. Informações relevantes fornecidas (ou implícitas) que vamos usar nas justificativas:
  • Um sistema linear é da forma A X=b onde A é matriz, X vetor incógnita e b vetor termo independente.
  • Sistema homogêneo significa b=0, ou seja, A X=0.
  • “Compatível determinado” = tem exatamente uma solução; “compatível indeterminado” = tem infinitas soluções; “incompatível” = nenhuma solução.
  • Matrizes invertíveis (quando quadradas) têm inversa A^{-1} e então A X=b tem solução única X=A^{-1}b.
  • Determinante \det A refere-se a matrizes quadradas e \det A\neq 0 é equivalente a A invertível (quando A é quadrada).
    A resolução de fato começa no Passo 2.

Passo 2

(a) Afirmação: Se o sistema homogêneo A X=0 admite as soluções X_{1} e X_{2}, então também admite k_{1} X_{1}+k_{2} X_{2} como solução, quaisquer que sejam os números reais k_{1} e k_{2}.
Justificativa: Use linearidade da multiplicação matricial. Se A X_{1}=0 e A X_{2}=0, então, para quaisquer k_{1},k_{2}\in\mathbb{R}, temos
A(k_{1}X_{1}+k_{2}X_{2})=k_{1}A X_{1}+k_{2}A X_{2}=k_{1}\cdot 0 + k_{2}\cdot 0 = 0.
Portanto k_{1}X_{1}+k_{2}X_{2} é solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (fecho linear do espaço solução).

Passo 3

(b) Afirmação: Uma condição necessária e suficiente para que o sistema homogêneo A X=0 tenha somente a solução trivial é que \det A \neq 0.
Justificativa: Aqui assumimos, como é habitual, que A é quadrada de ordem n (senão \det A não está definido). Para A quadrada vale o teorema clássico: \det A\neq 0 se e somente se A é invertível. Se A é invertível, então A X=0 implica X=A^{-1}0=0, logo a única solução é a trivial. Reciprocamente, se A X=0 tem apenas a solução trivial, então as colunas de A são linearmente independentes, o que implica \operatorname{rank}(A)=n e portanto \det A\neq 0. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (para A quadrada).

Passo 4

(c) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
Justificativa: Pelo próprio enunciado homogêneo A X=0, substituindo X=0 (o vetor nulo) obtemos A\cdot 0 = 0. Logo o vetor nulo é sempre solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 5

(d) Afirmação: Se X_{1} e X_{2} são soluções do sistema homogêneo A X=0, então X_{1}-X_{2} é solução de A X=0.
Justificativa: Usando linearidade,
A(X_{1}-X_{2})=A X_{1}-A X_{2}=0-0=0.
Portanto X_{1}-X_{2} é solução. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 6

(e) Afirmação: Se C é uma matriz invertível tal que C A=C B, então os sistemas lineares A X=b e B X=b são equivalentes.
Justificativa: Se C é invertível e C A=C B, multiplica-se à esquerda por C^{-1} para obter A=B. Logo as duas matrizes são iguais e os sistemas A X=b e B X=b são exatamente o mesmo sistema; possuem as mesmas soluções. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 7

(f) Afirmação: Se A é uma matriz tal que A^{T}A=A, então os sistemas A X=B e A^{2}X=B são equivalentes.
Justificativa: Primeiro observar que a igualdade A^{T}A=A impõe que A seja quadrada (caso contrário os lados teriam dimensões diferentes). Tomando transposta dos dois lados,
(A^{T}A)^{T}=A^{T} \quad\Rightarrow\quad A^{T}A=A^{T}.
Comparando com A^{T}A=A segue A=A^{T} (ou seja, A é simétrica). Substituindo de volta em A^{T}A=A com A=A^{T} obtemos A^{2}=A (idempotência). Assim para qualquer X,
A^{2}X = A X.
Portanto a equação A^{2}X=B é equivalente a A X=B. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira (sob a hipótese dada).

Passo 8

(g) Afirmação: Se X_{1} e X_{2} são soluções do sistema A X=B, então X_{1}+X_{2} é solução de A X=B.
Contra-exemplo e justificativa: Em geral não é verdade porque a equação não é linear no sentido de fecho aditivo para o lado direito não-nulo. Considere
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
As soluções de A X=B são os vetores X=(1,t)^{T} para qualquer t\in\mathbb{R}. Tome X_{1}=(1,0)^{T} e X_{2}=(1,1)^{T}; então ambos satisfazem A X=B. Mas
X_{1}+X_{2}=(2,1)^{T},\qquad A(X_{1}+X_{2})=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\neq B.
Logo a afirmação é às vezes falsa. Conclusão: a afirmação é falsa (contra-exemplo mostrado).]

Passo 9

(h) Afirmação: Se X_{0} é uma solução do sistema homogêneo A X=0 e X_{1} é uma solução do sistema A X=B, então X_{0}+X_{1} é solução de A X=B.
Justificativa: Use linearidade:
A(X_{0}+X_{1})=A X_{0}+A X_{1}=0 + B = B.
Portanto X_{0}+X_{1} é solução de A X=B. Isso é a forma padrão de construir a família de soluções: soma de uma solução particular com qualquer solução do homogêneo. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 10

(i) Afirmação: Seja A quadrada de ordem n. Se o sistema A X=0 é compatível determinado, então o sistema A X=B é compatível determinado.
Justificativa: Se A X=0 é compatível determinado então tem exatamente a solução X=0, então A é invertível (como vimos em (b)). Se A é invertível, então para qualquer B existe única solução X=A^{-1}B. Portanto A X=B é compatível determinado. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 11

(j) Afirmação: Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
Contra-exemplo e justificativa: Nem sempre. Pode ocorrer que o sistema seja incompatível (nenhuma solução). Por exemplo, com menos equações que incógnitas tome
A=\begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}\quad(1\times 2),\qquad b=\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}.
O sistema é 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=1, o que é impossível; portanto é incompatível. Logo a afirmação é às vezes falsa. Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 12

(k) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
Justificativa: Em um sistema homogêneo A X=0 sempre existe a solução trivial X=0. Além disso, se o número de equações m é menor que o número de incógnitas n, então o posto da matriz A satisfaz \operatorname{rank}(A)\le m < n. Logo \operatorname{rank}(A)<n, o que implica que as colunas são linearmente dependentes e existe espaço não trivial de soluções; portanto existem infinitas soluções (compatível indeterminado). Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 13

(l) Afirmação: Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
Contra-exemplo e justificativa: Isso é falso porque sistemas homogêneos nunca são incompatíveis (o vetor nulo sempre satisfaz A X=0). Por exemplo, considere uma matriz A com duas equações e uma incógnita
A=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad X=(x),\qquad A X=0
leva a x=0 em ambas as equações; o sistema tem pelo menos a solução x=0. Portanto a afirmação é às vezes falsa (na verdade sempre falsa). Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 14

(m) Afirmação: Seja A quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=B é incompatível, então a matriz A não é invertível.
Justificativa: Se A fosse invertível, então para qualquer B existiría a solução X=A^{-1}B, e o sistema seria compatível. Portanto, se existe algum B para o qual A X=B é incompatível, isso impede A de ser invertível. Outra maneira: incompatibilidade significa que a matriz aumentada [A\mid B] tem posto maior que o posto de A; então \operatorname{rank}(A)<n, logo A não tem posto máximo e não é invertível. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 15

(n) Afirmação: Seja A quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=0 é determinado, então A é linha-equivalente à matriz identidade I_{n}.
Justificativa: Se A X=0 é determinado então a única solução é X=0, o que implica que \operatorname{rank}(A)=n (colunas linearmente independentes). Para uma matriz quadrada de posto n vale que ela é invertível. Matrizes invertíveis são equivalentes por operações elementares de linha à matriz identidade I_{n} (essa é exatamente a ideia de obtenção da inversa por eliminação de Gauss). Portanto A é linha-equivalente a I_{n}. Conclusão: a afirmação é sempre verdadeira.

Resposta

(a) Sempre verdadeira.
(b) Sempre verdadeira (assumindo A quadrada).
(c) Sempre verdadeira.
(d) Sempre verdadeira.
(e) Sempre verdadeira.
(f) Sempre verdadeira.
(g) Às vezes falsa.
(h) Sempre verdadeira.
(i) Sempre verdadeira.
(j) Às vezes falsa.
(k) Sempre verdadeira.
(l) Às vezes falsa.
(m) Sempre verdadeira.
(n) Sempre verdadeira.

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