(10 pontos) Considere as retas r1(t)=(-1,1,3)+t(4,-6,1) e r2(t)=(1,0,0)+t(-4,6,1).
(a) Qual é a posição relativa dessas retas? (Coincidentes, paralelas, reversas, concorrentes.)
(b) Qual é a distância entre elas?

Passo 1

O enunciado apresenta duas retas no espaço:
r1(t)=(-1,1,3)+t,(4,-6,1), r2(s)=(1,0,0)+s,(-4,6,1)
Pede-se (a) a posição relativa dessas retas (coincidentes, paralelas, reversas ou concorrentes) e (b) a distância entre elas no caso de retas reversas. Para isso vamos comparar direções, checar interseção e usar a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Verificamos se as direções são paralelas, comparando
v1=(4,-6,1) e v2=(-4,6,1).
Procuramos lambda tal que v1=lambda, v2.
Das componentes 4=-4lambda e -6=6lambda segue lambda=-1, mas da componente 1=1lambda segue lambda=1. Como não há lambda comum, não são paralelas.

Passo 3

Testamos interseção resolvendo
(-1,1,3)+t(4,-6,1) = (1,0,0)+s(-4,6,1)
Das componentes x e y obtemos
-1+4t = 1-4s Rightarrow t+s=tfrac12,
1-6t = 6s Rightarrow t+s=tfrac16,
contradição. Não se intersectam, logo são retas reversas (skew).

Passo 4

Para retas reversas, a distância é
d = llvert ( P2- P1)cdot( v1times v2)rrvert lVert v1times v2rVert,
onde P1=(-1,1,3) e P2=(1,0,0).

Passo 5

Calculamos
P2- P1 = (2,-1,-3),
v1times v2 = i & j & k 4 & -6 & 1 -4 & 6 & 1 =(-12,-8,0),
( P2- P1)cdot( v1times v2) = (2,-1,-3)cdot(-12,-8,0) = -24+8+0 = -16,
lVert v1times v2rVert = raiz(-12)^2+(-8)^2+0^2 = raiz208 = 4raiz13

Passo 6

Substituindo na fórmula,
d = lvert -16rvert4raiz13 = 164raiz13 = 4raiz13

Resposta

(a) As retas são reversas (skew).
(b) A distância entre elas é tfrac4raiz13.

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