1. (10 pontos) Determine a distância entre as retas
    (2)
l y=x+1 z=x-3

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço. O tema aqui é geometria analítica em R^3, e vamos usar produto vetorial para obter a distância entre retas paralelas.

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica e extrair um ponto e o vetor diretor.
Para
logo
Dessa forma um ponto em é e o vetor diretor é .
Para
seja é e o vetor diretor é .

Passo 3

Observamos que
d1=(1,1,1)e d2=(1,1,1)
são proporcionais, logo as retas são paralelas.

Passo 4

Para retas paralelas, a distância entre elas é dada por
dist = |,(P1P2)times d||d|,
onde P1P2 = P2 - P1 e d é o vetor diretor comum.

Passo 5

Calculamos
P1P2 = (0,1,-3)-(2,2,0)=(-2,-1,-3),
(P1P2)times d = i & j & k -2 & -1 & -3 1 & 1 & 1 = (2,,-1,,-1),
|(P1P2)times d| = raiz2^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz6, |d|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Portanto
dist = raiz6raiz3 = raiz2

Resposta

raiz2

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