1. (10 pontos) Determine m e n de modo que os planos pi1: 2 m x+2 y-z=0 e pi2: 3 x-n y+2 z-1=0 sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado pede m e n tais que os planos
pi1:2m x+2y-z=0 e pi2:3x - n y+2z-1=0 sejam paralelos.
Este é um problema de Geometria Analítica no espaço: vamos usar que dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n1=(2m,,2,,-1) para pi1 e
n2=(3,,-n,,2) para pi2.
Para que sejam colineares, existe lambdaneq0 tal que
(2m,,2,,-1)=lambda,(3,,-n,,2)

Passo 3

Da igualdade de coordenadas obtemos o sistema
2m = 3lambda, 2 = -nlambda, -1 = 2lambda

Passo 4

Da terceira equação -1=2lambda segue
lambda = -12
Substituindo em 2m=3lambda
2m = 3l(-tfrac12r) = -tfrac32 Longrightarrow m = -tfrac34
E em 2=-nlambda temos
2 = -nl(-tfrac12r) = tfracn2 Longrightarrow n = 4

Resposta

m = -tfrac34, n = 4

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