Seja T: U V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se u1, ldots, un é uma base de U, então F(u1), ldots, T(un) é linearmente independente em V. Provar que T é injetora.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear Tcolon Uto V com a propriedade de que, qualquer que seja uma base u1,dots,un de U, o conjunto T(u1),dots,T(un é linearmente independente em V. O que queremos mostrar é que T é injetora, ou seja, que ker T=0. Para isso usaremos dois fatos clássicos de álgebra linear: (a) T é injetora se e somente se ker T=0, e (b) dado um vetor não nulo em U, podemos estendê-lo a uma base de U.

Passo 2

Suponha, por contradição, que T não seja injetora. Então existe uin U, com uneq 0, tal que
T(u)=0
Isso significa que uinker T e ker Tneq0.

Passo 3

Como uneq 0, podemos estendê-lo a uma base de U. Ou seja, existe um conjunto u1,dots,uksubset U tal que
,u,u1,dots,uk
é uma base de U.

Passo 4

Pela hipótese do enunciado, as imagens dessa base sob T, isto é,
,T(u),,T(u1),dots,T(uk),
devem ser linearmente independentes em V. Mas como T(u)=0, esse conjunto contém o vetor nulo, e qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente dependente. Isso é uma contradição.

Passo 5

Logo a suposição de que ker Tneq0 está errada. Portanto ker T=0, e isso implica que T é injetora.

Resposta

T é injetora.

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