Seja
uma transformação linear com a seguinte propriedade: se
é uma base de
, então
é linearmente independente em
. Provar que
é injetora.
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
com a propriedade de que, qualquer que seja uma base
de
, o conjunto
é linearmente independente em
. O que queremos mostrar é que
é injetora, ou seja, que
. Para isso usaremos dois fatos clássicos de álgebra linear: (a)
é injetora se e somente se
, e (b) dado um vetor não nulo em
, podemos estendê-lo a uma base de
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
não seja injetora. Então existe
, com
, tal que
Isso significa que
e
.
Passo 3
Como
, podemos estendê-lo a uma base de
. Ou seja, existe um conjunto
tal que
é uma base de
.
Passo 4
Pela hipótese do enunciado, as imagens dessa base sob
, isto é,
devem ser linearmente independentes em
. Mas como
, esse conjunto contém o vetor nulo, e qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente dependente. Isso é uma contradição.
Passo 5
Logo a suposição de que
está errada. Portanto
, e isso implica que
é injetora.