- (10 pontos) Determine as equações das retas tangente e normal à curva definida implicitamente por
no ponto ( 0,1 ).
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por
no ponto
.
Informações dadas:
Vou primeiro checar rapidamente que o ponto pertence à curva, substituindo
e
na equação dada:
portanto o ponto
realmente está na curva. A partir daqui precisamos calcular a inclinação da tangente
e usar a forma ponto-inclinação para obter as equações pedidas.
Passo 2
Estratégia (sem formalidades): como a curva está definida implicitamente por uma equação que envolve
e
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
(ou seja,
). Isso chama-se diferenciação implícita. A derivada obtida nos dará
em função de
e
; então avaliamos em
para obter a inclinação da tangente naquele ponto.
Passo 3
Relembrando as regras que usaremos (rapidinho e com calma):
- Derivada de uma exponencial composta: se
é função, . Aqui , então . - Regra do produto:
. - Derivada de constante (aqui
) é zero.
Agora aplicamos isso à equação
.
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Usando as regras do passo anterior:
Agora expandimos e recolhemos os termos que contêm
:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Essa é a expressão geral da derivada
em termos de
e
.
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto
. Primeiro calculamos
em
:
Substituindo em
:
Podemos também escrever
, se preferir uma forma alternativa.
Esse valor é a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 6
Equação da reta tangente: usaremos a forma ponto-inclinação. Se a inclinação é
e o ponto é
, a reta é
Aqui
e
. Logo:
ou de forma limpa:
Outra forma equivalente é
Passo 7
Equação da reta normal: a normal no ponto é a reta que é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é
(não zero), a inclinação da normal é
. Assim:
Usando a forma ponto-inclinação com
:
ou