1. (10 pontos) Determine as equações das retas tangente e normal à curva definida implicitamente por e^{\wedge}(x+y)-x y-e=0 no ponto ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por \displaystyle e^{x+y}-x y-e=0 no ponto (0,1).
Informações dadas:
\text{o curva: } e^{x+y}-x y-e=0, \qquad \text{o ponto: } (0,1).
Vou primeiro checar rapidamente que o ponto pertence à curva, substituindo x=0 e y=1 na equação dada:
e^{0+1}-0\cdot1-e = e - 0 - e = 0,
portanto o ponto (0,1) realmente está na curva. A partir daqui precisamos calcular a inclinação da tangente \displaystyle y'(0) e usar a forma ponto-inclinação para obter as equações pedidas.

Passo 2

Estratégia (sem formalidades): como a curva está definida implicitamente por uma equação que envolve x e y, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x (ou seja, y=y(x)). Isso chama-se diferenciação implícita. A derivada obtida nos dará y' em função de x e y; então avaliamos em (0,1) para obter a inclinação da tangente naquele ponto.

Passo 3

Relembrando as regras que usaremos (rapidinho e com calma):
  • Derivada de uma exponencial composta: se u(x) é função, \displaystyle \frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=x+y(x), então u'(x)=1+y'(x).
  • Regra do produto: \displaystyle \frac{d}{dx}[x\,y(x)]=x\cdot y'(x)+y(x)\cdot 1 = x y' + y.
  • Derivada de constante (aqui \,e) é zero.
Agora aplicamos isso à equação \displaystyle e^{x+y}-x y-e=0.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(e^{x+y}\big)-\frac{d}{dx}(x y)-\frac{d}{dx}(e)=0.
Usando as regras do passo anterior:
e^{x+y}(1+y') - (x y' + y) - 0 = 0.
Agora expandimos e recolhemos os termos que contêm y':
e^{x+y} + e^{x+y}y' - x y' - y = 0.
Agrupando os termos com y':
y'\big(e^{x+y}-x\big) + \big(e^{x+y}-y\big) = 0.
Isolando y':
y' = -\,\frac{e^{x+y}-y}{\,e^{x+y}-x\,}.
Essa é a expressão geral da derivada y' em termos de x e y.

Passo 5

Agora avaliamos y' no ponto (0,1). Primeiro calculamos e^{x+y} em (0,1):
e^{0+1} = e.
Substituindo em \displaystyle y' = -\frac{e^{x+y}-y}{e^{x+y}-x}:
y'(0) = -\frac{e - 1}{e - 0} = -\frac{e-1}{e} = \frac{1-e}{e}.
Podemos também escrever y'(0)=\displaystyle\frac{1}{e}-1, se preferir uma forma alternativa.
Esse valor é a inclinação da reta tangente no ponto (0,1).

Passo 6

Equação da reta tangente: usaremos a forma ponto-inclinação. Se a inclinação é m e o ponto é (x_0,y_0), a reta é
y-y_0 = m(x-x_0).
Aqui m=y'(0)=\displaystyle\frac{1-e}{e} e (x_0,y_0)=(0,1). Logo:
y-1 = \frac{1-e}{e}(x-0),
ou de forma limpa:
y = 1 + \frac{1-e}{e}\,x.
Outra forma equivalente é
y = 1 + \left(\frac{1}{e}-1\right)x.

Passo 7

Equação da reta normal: a normal no ponto é a reta que é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é m (não zero), a inclinação da normal é -1/m. Assim:
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{1-e}{e}} = -\frac{e}{1-e} = \frac{e}{e-1}.
Usando a forma ponto-inclinação com (0,1):
y-1 = \frac{e}{e-1}(x-0),
ou
y = 1 + \frac{e}{e-1}\,x.

Resposta

y = 1 + \dfrac{1-e}{e}\,x
y = 1 + \dfrac{e}{e-1}\,x

Exercícios relacionados