1. (10 pontos) Seja f(x) diferenciável em [a, b] e f^{\prime}(x) estritamente monótona. Se f(a)=f(b), prove que para todo x \in(a, b), temos $f(x)<f(a)=f(b).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informações dadas:
    • f é diferenciável em [a,b].
    • f'(x) é estritamente monótona em [a,b]. (Para que o enunciado faça sentido e seja verdadeiro usarei a interpretação habitual do problema: f' é estritamente crescente em [a,b].)
    • f(a)=f(b).
  • O que pedir provar:
    • Mostrar que, para todo x\in(a,b), vale \displaystyle f(x)<f(a)=f(b).
Vou provar isso passo a passo, explicando cada teorema e razão usada, como se estivéssemos estudando juntos para a prova.

Passo 2

Primeiro vou lembrar um teorema que é a ferramenta natural aqui: o Teorema de Rolle.
  • Teorema de Rolle (enunciado e ideia): se uma função g é contínua em [u,v], diferenciável em (u,v) e g(u)=g(v), então existe pelo menos um ponto \xi\in(u,v) tal que g'(\xi)=0.
Explicação intuitiva e uso: como g começa e acaba com o mesmo valor e é diferenciável (logo contínua), o gráfico precisa ter um ponto interior onde a tangente é horizontal (derivada zero). Nós o usaremos aplicando a f no intervalo [a,b].

Passo 3

Aplicando Rolle a f em [a,b]: como f é diferenciável em [a,b] (em particular contínua) e f(a)=f(b), existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.
Esse c será central na análise do sinal de f' em todo o intervalo.

Passo 4

Agora explico o que significa f' ser estritamente crescente e as consequências imediatas com f'\text{(c)}=0.
  • Definição útil: dizer que f' é estritamente crescente significa que, para quaisquer x_1<x_2 em [a,b], vale f'(x_1)<f'(x_2).
  • Consequência com f'\text{(c)}=0: como f' é estritamente crescente e c é um ponto com f'\text{(c)}=0, para qualquer x\in(a,c) temos
f'(x) < f'\text{(c)} = 0,
e para qualquer x\in(c,b) temos
f'(x) > f'\text{(c)} = 0.
Ou seja, f'(x) é negativo em todo (a,c) e positivo em todo (c,b).

Passo 5

Explico por que o sinal da derivada determina se f é crescente ou decrescente (lembrete e prova curta usando o Teorema do Valor Médio):
  • Se f'(x)<0 para todo x em um intervalo aberto I, então f é estritamente decrescente em I.
  • Se f'(x)>0 para todo x em um intervalo aberto I, então f é estritamente crescente em I.
Prova curta (esquema): se u<v em I, pelo Teorema do Valor Médio existe \xi\in(u,v) tal que
f'(\xi)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}.
Se f'(\xi)<0 então \frac{f(v)-f(u)}{v-u}<0. Como v-u>0, segue f(v)-f(u)<0, isto é f(v)<f(u): decresce. O caso f'>0 é análogo e dá crescimento. Isso é exatamente a conexão que usaremos.

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior ao nosso caso:
  • Como f'(x)<0 em (a,c), f é estritamente decrescente em (a,c).
  • Como f'(x)>0 em (c,b), f é estritamente crescente em (c,b).
Isso já dá a ideia: partindo de a até c a função decresce, e de c até b a função cresce; portanto c é um mínimo estrito local (na verdade global no intervalo).

Passo 7

Agora transformo essa monotonicidade em desigualdades concretas para um ponto arbitrário x\in(a,b).
Caso 1: x\in(a,c).
  • Como f é estritamente decrescente em (a,c), ao comparar a e x (com a<x) temos f(x)<f(a).
  • Uma maneira alternativa e completamente elementar (útil em prova): aplique o Teorema do Valor Médio ao intervalo [a,x]. Existe \xi\in(a,x)\subset(a,c) tal que f'(\xi)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.Como \xi\in(a,c) sabemos f'(\xi)<0, e x-a>0, daí f(x)-f(a)<0, logo f(x)<f(a).
Caso 2: x\in(c,b).
  • Como f é estritamente crescente em (c,b), ao comparar x e b (com x<b) temos f(x)<f(b).
  • Usando o Teorema do Valor Médio em [x,b]: existe \eta\in(x,b)\subset(c,b) tal que f'(\eta)=\frac{f(b)-f(x)}{b-x}.Como \eta\in(c,b) sabemos f'(\eta)>0, e b-x>0, daí f(b)-f(x)>0, logo f(x)<f(b).
Como f(b)=f(a), em ambos os casos obtemos f(x)<f(a).

Passo 8

Falta verificar o ponto x=c (o ponto que encontramos com f'\text{(c)}=0):
  • Já sabemos que em (a,c) a função assume valores menores que f(a) e em (c,b) também. Como f é contínua em c (derivável implica contínua), o valor f\text{(c)} é menor ou igual aos valores à esquerda e à direita mais próximos; combinando com o fato de que à esquerda (p. ex. para x muito próximo de c) temos f(x)<f(a), e que f é estritamente decrescente em (a,c) e estritamente crescente em (c,b), segue que f\text{(c)} é estritamente menor que f(a). Intuitivamente, c é um mínimo estrito, então f\text{(c)}<f(a).

Passo 9

Juntando os casos dos passos anteriores:
  • Para qualquer x\in(a,b) temos seja x\in(a,c), seja x=c, seja x\in(c,b). Em todos os casos obtemos f(x)<f(a).
  • Como f(a)=f(b), podemos escrever a conclusão na forma pedida.

Resposta

\displaystyle \text{Para todo }x\in(a,b)\text{ vale }f(x)<f(a)=f(b).

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