- (10 pontos) Seja
diferenciável em [a, b] e
estritamente monótona. Se
, prove que para todo
, temos $f(x)<f(a)=f(b).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
-
Informações dadas:
-
é diferenciável em . -
é estritamente monótona em . (Para que o enunciado faça sentido e seja verdadeiro usarei a interpretação habitual do problema: é estritamente crescente em .) -
.
-
-
O que pedir provar:
- Mostrar que, para todo
, vale .
- Mostrar que, para todo
Vou provar isso passo a passo, explicando cada teorema e razão usada, como se estivéssemos estudando juntos para a prova.
Passo 2
Primeiro vou lembrar um teorema que é a ferramenta natural aqui: o Teorema de Rolle.
- Teorema de Rolle (enunciado e ideia): se uma função
é contínua em , diferenciável em e , então existe pelo menos um ponto tal que .
Explicação intuitiva e uso: como
começa e acaba com o mesmo valor e é diferenciável (logo contínua), o gráfico precisa ter um ponto interior onde a tangente é horizontal (derivada zero). Nós o usaremos aplicando a
no intervalo
.
Passo 3
Aplicando Rolle a
em
: como
é diferenciável em
(em particular contínua) e
, existe
tal que
Esse
será central na análise do sinal de
em todo o intervalo.
Passo 4
Agora explico o que significa
ser estritamente crescente e as consequências imediatas com
.
-
Definição útil: dizer que
é estritamente crescente significa que, para quaisquer em , vale . -
Consequência com
: como é estritamente crescente e é um ponto com , para qualquer temos
e para qualquer
temos
Ou seja,
é negativo em todo
e positivo em todo
.
Passo 5
Explico por que o sinal da derivada determina se
é crescente ou decrescente (lembrete e prova curta usando o Teorema do Valor Médio):
- Se
para todo em um intervalo aberto , então é estritamente decrescente em . - Se
para todo em um intervalo aberto , então é estritamente crescente em .
Prova curta (esquema): se
em
, pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Se
então
. Como
, segue
, isto é
: decresce. O caso
é análogo e dá crescimento. Isso é exatamente a conexão que usaremos.
Passo 6
Aplicando o resultado do passo anterior ao nosso caso:
- Como
em , é estritamente decrescente em . - Como
em , é estritamente crescente em .
Isso já dá a ideia: partindo de
até
a função decresce, e de
até
a função cresce; portanto
é um mínimo estrito local (na verdade global no intervalo).
Passo 7
Agora transformo essa monotonicidade em desigualdades concretas para um ponto arbitrário
.
Caso 1:
.
- Como
é estritamente decrescente em , ao comparar e (com ) temos . - Uma maneira alternativa e completamente elementar (útil em prova): aplique o Teorema do Valor Médio ao intervalo
. Existe tal que Como sabemos , e , daí , logo .
Caso 2:
.
- Como
é estritamente crescente em , ao comparar e (com ) temos . - Usando o Teorema do Valor Médio em
: existe tal que Como sabemos , e , daí , logo .
Como
, em ambos os casos obtemos
.
Passo 8
Falta verificar o ponto
(o ponto que encontramos com
):
- Já sabemos que em
a função assume valores menores que e em também. Como é contínua em (derivável implica contínua), o valor é menor ou igual aos valores à esquerda e à direita mais próximos; combinando com o fato de que à esquerda (p. ex. para muito próximo de ) temos , e que é estritamente decrescente em e estritamente crescente em , segue que é estritamente menor que . Intuitivamente, é um mínimo estrito, então .
Passo 9
Juntando os casos dos passos anteriores:
- Para qualquer
temos seja , seja , seja . Em todos os casos obtemos . - Como
, podemos escrever a conclusão na forma pedida.