1. (12 pontos) Seja f(x) diferenciavel em [a, b], \quad f^{\prime}(x) \neq 0, \quad f(a)=1, \quad f(b)=0. Prove que:
    (1) Existe \exists \xi_{1} \in(a, b) tal que f\left(\xi_{1}\right)=\frac{4}{5}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
  • Informações dadas:
    • f é diferenciável em [a,b].
    • f^{\prime}(x)\neq 0 para todo x (entenda como em (a,b) onde a derivada está definida de forma usual).
    • f(a)=1.
    • f(b)=0.
  • O que a questão pede:
    • Mostrar que existe \xi_{1}\in(a,b) tal que f(\xi_{1})=\dfrac{4}{5}.

Passo 2

Primeira observação útil (fórmula/conceito): diferenciabilidade implica continuidade.
  • Explicação didática: dizer que f é diferenciável em um ponto x_0 significa que o limite f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}existe. Se esse limite existe então, ao reescrever f(x_0+h)=f(x_0)+h\cdot\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} e tomar h\to0, vemos que f(x_0+h)\to f(x_0). Ou seja, f é contínua em x_0. Como isso vale para todo ponto de [a,b], f é contínua em [a,b].
  • Conclusão prática: podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) quando for conveniente, porque f é contínua.

Passo 3

Mostre que f' tem sinal constante em (a,b) (isto é, ou f'(x)>0 para todo x\in(a,b) ou f'(x)<0 para todo x\in(a,b)).
  • Por que isso é verdade (explicação didática, sem pular etapas): suponha, por absurdo, que f' tivesse sinais diferentes em dois pontos, isto é, existissem u,v\in(a,b) com f'(u)>0 e f'(v)<0. A derivada, por uma propriedade clássica chamada Teorema de Darboux, tem a propriedade do valor intermediário: ela não pode “saltar” de um valor positivo para um valor negativo sem assumir todos os valores intermediários entre esses dois sinais, em particular assumiria o valor 0 em algum ponto entre u e v. Isso contraria a hipótese f'(x)\neq 0 para todo x. Logo a hipótese de sinais distintos é impossível.
  • Conclusão: f' é de sinal constante em (a,b).

Passo 4

Deduza que f é estritamente monotônica em [a,b].
  • Uso do Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio), que diz: para quaisquer x,y\in[a,b] com x<y existe c\in(x,y) tal que f(y)-f(x)=f'\text{(c)}\,(y-x).Aqui y-x>0. Como f'\text{(c)} tem sinal constante (ou sempre positivo ou sempre negativo), o sinal de f(y)-f(x) é sempre o mesmo para todo par x<y. Portanto:
    • Se f'(x)>0 em (a,b) então f(y)-f(x)>0 para todo x<y, isto é, f é estritamente crescente.
    • Se f'(x)<0 em (a,b) então f(y)-f(x)<0 para todo x<y, isto é, f é estritamente decrescente.
  • Em qualquer dos casos f é injetora e contínua em [a,b], e sua imagem do intervalo aberto (a,b) é o intervalo aberto entre f(a) e f(b).

Passo 5

Aplique o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para obter o ponto procurado.
  • Enunciado do TVI (lembrando do que significa): se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], então ela assume todos os valores entre f(a) e f(b). Mais formalmente: para qualquer y entre f(a) e f(b) existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=y.
  • No nosso caso temos f(a)=1 e f(b)=0. O número \dfrac{4}{5} satisfaz 0<fraction{4}{5}<1,ou seja, \dfrac{4}{5} está estritamente entre f(b) e f(a).
  • Como f é contínua em [a,b], o TVI garante a existência de algum \xi_1\in(a,b) tal que f(\xi_1)=\dfrac{4}{5}.Observação sobre a posição: não precisamos nos preocupar com os extremos porque f(a)=1 e f(b)=0 não são iguais a \tfrac{4}{5}, logo o ponto fornecido pelo TVI fica estritamente dentro do intervalo, isto é, em (a,b). Além disso, como f é estritamente monotônica, esse \xi_1 é único — mas a questão só pede existência.

Passo 6

Recapitulando de forma curta (para fixar a técnica que você pode usar na prova):
  • Diferenciabilidade ⇒ continuidade ⇒ posso usar TVI.
  • f'(x)\neq0 e propriedade de Darboux ⇒ f' tem sinal constante ⇒ f é estritamente monotônica.
  • Como f(a)=1, f(b)=0 e \dfrac{4}{5} fica entre esses valores, pelo TVI existe \xi_1\in(a,b) tal que f(\xi_1)=\dfrac{4}{5}.

Resposta

Existe \xi_{1}\in(a,b) tal que f(\xi_{1})=\dfrac{4}{5}.

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