- (12 pontos) Seja
diferenciavel em
. Prove que:
(1) Existe
tal que
(1) Existe
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isto.
-
Informações dadas:
-
é diferenciável em . -
para todo (entenda como em onde a derivada está definida de forma usual). -
. -
.
-
-
O que a questão pede:
- Mostrar que existe
tal que .
- Mostrar que existe
Passo 2
Primeira observação útil (fórmula/conceito): diferenciabilidade implica continuidade.
- Explicação didática: dizer que
é diferenciável em um ponto significa que o limite existe. Se esse limite existe então, ao reescrever e tomar , vemos que . Ou seja, é contínua em . Como isso vale para todo ponto de , é contínua em . - Conclusão prática: podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) quando for conveniente, porque
é contínua.
Passo 3
Mostre que
tem sinal constante em
(isto é, ou
para todo
ou
para todo
).
- Por que isso é verdade (explicação didática, sem pular etapas): suponha, por absurdo, que
tivesse sinais diferentes em dois pontos, isto é, existissem com e . A derivada, por uma propriedade clássica chamada Teorema de Darboux, tem a propriedade do valor intermediário: ela não pode “saltar” de um valor positivo para um valor negativo sem assumir todos os valores intermediários entre esses dois sinais, em particular assumiria o valor em algum ponto entre e . Isso contraria a hipótese para todo . Logo a hipótese de sinais distintos é impossível. - Conclusão:
é de sinal constante em .
Passo 4
Deduza que
é estritamente monotônica em
.
- Uso do Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio), que diz: para quaisquer
com existe tal que Aqui . Como tem sinal constante (ou sempre positivo ou sempre negativo), o sinal de é sempre o mesmo para todo par . Portanto: - Se
em então para todo , isto é, é estritamente crescente. - Se
em então para todo , isto é, é estritamente decrescente.
- Se
- Em qualquer dos casos
é injetora e contínua em , e sua imagem do intervalo aberto é o intervalo aberto entre e .
Passo 5
Aplique o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para obter o ponto procurado.
- Enunciado do TVI (lembrando do que significa): se uma função é contínua em um intervalo fechado
, então ela assume todos os valores entre e . Mais formalmente: para qualquer entre e existe tal que . - No nosso caso temos
e . O número satisfaz ou seja, está estritamente entre e . - Como
é contínua em , o TVI garante a existência de algum tal que Observação sobre a posição: não precisamos nos preocupar com os extremos porque e não são iguais a , logo o ponto fornecido pelo TVI fica estritamente dentro do intervalo, isto é, em . Além disso, como é estritamente monotônica, esse é único — mas a questão só pede existência.
Passo 6
Recapitulando de forma curta (para fixar a técnica que você pode usar na prova):
- Diferenciabilidade ⇒ continuidade ⇒ posso usar TVI.
-
e propriedade de Darboux ⇒ tem sinal constante ⇒ é estritamente monotônica. - Como
, e fica entre esses valores, pelo TVI existe tal que .
Resposta
Existe
tal que
.