1. (10 pontos) Determine os pontos de continuidade da função f(x) e indique o tipo de descontinuidade nos pontos de descontinuidade:
f(x)= \begin{cases}\frac{x \sin \frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}, & x \neq 0, x \neq 1 \\\\ 0, & x=0 \\\ \sin 1, & x=1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x \sin \frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}, & x \neq 0,\\ x \neq 1,\\[6pt] 0, & x=0,\\[4pt] \sin 1, & x=1,\end{cases}
e pede duas coisas: (i) determinar os pontos em que f é contínua e (ii) indicar o tipo de descontinuidade nos pontos em que f não é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a expressão racional com exponencial e \sin(1/x) vale para todos os x exceto 0 e 1; os valores em x=0 e x=1 são dados separadamente.]

Passo 2

Definição útil (rápida e prática): uma função f é contínua num ponto a se e somente se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a). Para verificar continuidade, normalmente fazemos:
  • ver se a expressão que define f é contínua naquela região (composições de funções contínuas são contínuas), e
  • checar limites nas fronteiras onde a expressão pode falhar (aqui: x=0 e x=1).
    Vou aplicar isso: primeiro verifico continuidade para x\neq0,1; depois avalio limites em x=0 e em x=1.

Passo 3

Continuidade para x\neq 0,1.
A função definida por
g(x)=\frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}
é composição e quociente de funções elementares (produto, \sin, exponencial), portanto é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero e as funções internas são bem definidas. O denominador é
1-e^{\frac{x}{1-x}}.
Quando esse denominador é zero? Isso exige e^{\frac{x}{1-x}}=1, ou seja \frac{x}{1-x}=0, o que dá x=0. Portanto, para todo x\neq 0,1 o denominador é diferente de zero e a expressão g(x) é contínua. Conclusão parcial: f é contínua em todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.

Passo 4

Preparação para o ponto x=0. Recordando: f(0)=0. Para decidir continuidade em 0 preciso calcular
\lim_{x\to 0} \frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}
e ver se esse limite existe e é igual a 0. Uma boa manipulação é dividir numerador e denominador por x (válido para x\neq0) para isolar a oscilação de \sin\frac{1}{x}:
\frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}} = \frac{\sin\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1-e^{\frac{x}{1-x}}}{x}}.
Isso deixa a oscilação dentro de \sin\frac{1}{x}, enquanto o denominador agora é uma expressão cujo limite podemos analisar com séries/taylor simples.

Passo 5

Análise do denominador na forma \dfrac{1-e^{\frac{x}{1-x}}}{x} quando x\to0. Para x pequeno, usamos a expansão de e^t em torno de t=0:
e^{t}=1+t+o(t) \quad (t\to0).
Aqui t=\dfrac{x}{1-x}. Quando x\to0 temos t=\dfrac{x}{1-x}=x+O(x^2), logo t\to0. Aplicando a expansão:
e^{\frac{x}{1-x}} = 1 + \frac{x}{1-x} + o\!\left(\frac{x}{1-x}\right).
Logo
1-e^{\frac{x}{1-x}} = -\frac{x}{1-x} + o\!\left(\frac{x}{1-x}\right).
Dividindo por x obtemos
\frac{1-e^{\frac{x}{1-x}}}{x} = -\frac{1}{1-x} + o(1).
Quando x\to0 isso tende a -1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{\frac{x}{1-x}}}{x} = -1.

Passo 6

Voltando à forma
\frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}} = \frac{\sin\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1-e^{\frac{x}{1-x}}}{x}},
como mostramos no Passo 5 o denominador da fração à direita tende a -1 quando x\to0. Assim, para x próximo de 0 temos aproximadamente
\frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}} \approx -\sin\frac{1}{x}.
Mas \sin\frac{1}{x} não tem limite quando x\to0: ela oscila entre -1 e 1. Portanto a expressão acima também não tem limite quando x\to0. Conclusão: \lim_{x\to0} f(x) não existe, logo f é descontínua em x=0.

Passo 7

Explicitação da natureza da oscilação em x=0 por sequências (ajuda a classificar o tipo de descontinuidade). Considere as sequências
x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\quad\text{e}\quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n},
com n\to\infty. Então \sin\frac{1}{x_n}=1 e \sin\frac{1}{y_n}=-1. Como vimos a fração tende a aproximadamente -\sin\frac{1}{x} quando x\to0, temos
\lim_{n\to\infty} f(x_n) = -1,\qquad \lim_{n\to\infty} f(y_n)=1.
Como existem duas sequências com limites diferentes ao aproximarem-se de 0, o limite bilateral não existe e a descontinuidade é essencial/oscillatória (não removível e não do tipo salto). Em palavras: é uma descontinuidade por oscilação.

Passo 8

Análise do ponto x=1. Recordando: f(1)=\sin 1. Vou calcular os limites laterais \lim_{x\to 1^-} f(x) e \lim_{x\to 1^+} f(x). Para x próximo de 1 a parte problemática é o expoente \dfrac{x}{1-x}:
  • Se x\to 1^- (pela esquerda), então 1-x>0 é pequeno, logo \dfrac{x}{1-x}\to +\infty e assim e^{\frac{x}{1-x}}\to +\infty. Então o denominador
1-e^{\frac{x}{1-x}}\to -\infty.
O numerador x\sin\frac{1}{x} tende para 1\cdot\sin 1=\sin 1 (produto de termos que tendem a 1 e a \sin 1). Portanto
\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}\frac{x \sin\frac{1}{x}}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=0,
porque um numerador finito dividido por um denominador que tende a infinito dá 0.

Passo 9

Continuando em x=1 para o lado direito: se x\to 1^+, então 1-x<0 é pequeno e \dfrac{x}{1-x}\to -\infty, logo e^{\frac{x}{1-x}}\to 0. Assim o denominador
1-e^{\frac{x}{1-x}}\to 1.
O numerador x\sin\frac{1}{x} tende para \sin 1 como antes. Portanto
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\frac{\sin 1}{1}=\sin 1.
Como os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes ( 0 pela esquerda e \sin 1 pela direita), o limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) não existe. Como ambas as semi-limites existem e são finitas, a descontinuidade em x=1 é uma descontinuidade do primeiro tipo (descontinuidade em salto, “jump”).

Passo 10

Resumo das conclusões (preparação para a resposta final):
  • f é contínua em todo x\neq 0,1.
  • Em x=0 a função tem descontinuidade essencial/oscillatória (não removível) porque \lim_{x\to0} f(x) não existe devido à oscilação de \sin\frac{1}{x}.
  • Em x=1 a função tem descontinuidade em salto (descontinuidade da primeira espécie) com \lim_{x\to1^-} f(x)=0 e \lim_{x\to1^+} f(x)=\sin 1, e f(1)=\sin 1.

Resposta

Pontos de continuidade: f é contínua para todos os x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.
x=0: descontinuidade essencial (oscillatória, não removível) — \lim_{x\to0} f(x) não existe.
x=1: descontinuidade em salto (primeira espécie), com \lim_{x\to1^-} f(x)=0 e \lim_{x\to1^+} f(x)=\sin 1.

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