Seja
uma transformação linear e
o conjunto dos vetores de
que são deixados fixos por
, ou seja,
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
e define
Queremos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: devemos verificar que
-
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo pertence a
. Como
é linear, vale
Logo
.
Passo 3
Mostramos a fechamento de
sob soma. Sejam
. Então
e
. Pela linearidade de
,
Portanto
.
Passo 4
Mostramos a fechamento de
sob multiplicação escalar. Seja
(campo base) e
. Então
e, pela linearidade,
Logo
.