Seja T: V V uma transformação linear e C o conjunto dos vetores de V que são deixados fixos por T, ou seja,
C=v in V: T(v)=v
Mostre que C é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:Vto V e define
C = ,vin V: T(v)=v
Queremos mostrar que C é um subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: devemos verificar que
  1. 0in C,
  2. C é fechado sob soma,
  3. C é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo pertence a C. Como T é linear, vale
T(0) = 0
Logo 0in C.

Passo 3

Mostramos a fechamento de C sob soma. Sejam v,win C. Então T(v)=v e T(w)=w. Pela linearidade de T,
T(v+w) = T(v) + T(w) = v + w
Portanto v+win C.

Passo 4

Mostramos a fechamento de C sob multiplicação escalar. Seja alphainK (campo base) e vin C. Então T(v)=v e, pela linearidade,
T(alpha v) = alpha,T(v) = alpha v
Logo alpha vin C.

Resposta

C é um subespaço vetorial de V.

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