Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
e) (A B) C=C(A B).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale, para matrizes A,B,C compatíveis, a igualdade
(AB)C = C,(AB)
O conteúdo aqui é a análise das propriedades de associatividade e comutatividade da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Sabemos que a multiplicação de matrizes é associativa, isto é,
(AB)C = A,(BC)
para quaisquer matrizes compatíveis. Porém, a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja,
AB neq BA
na maioria dos casos. Como C,(AB) = (C A),B, não há razão para garantir (AB)C = C,(AB) sem uma hipótese de comutatividade extra.

Passo 3

Damos um contra\mbox{-}exemplo em R^2times 2. Seja
A = 1 & 0[4pt]0 & 2, B = 2 & 0[4pt]0 & 3, C = 0 & 1[4pt]0 & 0
Então
AB = 2 & 0[4pt]0 & 6,
(AB)C = 2 & 0[4pt]0 & 6 0 & 1[4pt]0 & 0 = 0 & 2[4pt]0 & 0,
C(AB) = 0 & 1[4pt]0 & 0 2 & 0[4pt]0 & 6 = 0 & 6[4pt]0 & 0
Como (AB)C neq C(AB), a afirma\c{c}~{a}o n~{a}o `{e} v’alida de modo geral.]

Resposta

Falsa.

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