(10 pontos) Determine quantas propriedades de espaço vetorial falha cosiderando o conjunto
, com as operações
Passo 1
O enunciado pede para determinar quantas propriedades de espaço vetorial falham para o conjunto
com as operações dadas. Os dados do problema (peguei estes do enunciado) são:
- Vetores genéricos:
e . - A operação de soma é definida por
- A operação de multiplicação por escalar é definida por
para
.
O que se pede: verificar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial e contar quantas delas falham.
Passo 2
Vamos primeiro listar, de forma clara e simples, os axiomas que vou testar (a lista padrão com 10 propriedades; cada uma vou explicar e testar):
- Fechamento da soma:
para todo . - Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
para todo . - Existência do elemento neutro aditivo
: existe com para todo . - Existência do inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Fechamento pela multiplicação escalar:
para todo e todo . - Compatibilidade da multiplicação escalar:
para todo . - Elemento neutro escalar:
para todo . - Distributividade escalar em relação à soma de vetores:
. - Distributividade escalar em relação à soma de escalares:
.
Vou checar cada propriedade, explicando o raciocínio e dando exemplos quando necessário.
Passo 3
Axioma 1 — Fechamento da soma.
- Definição prática: se
então deve ser um elemento de . - Aqui
. Como e são números reais para quaisquer , o resultado está em . - Conclusão: o fechamento sob adição é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2 — Comutatividade da soma.
- Preciso verificar se
para todos . - Calculemos explicitamente:
- Essas duas expressões não são iguais em geral (valores dependem de
versus ). Basta um contraexemplo numérico para mostrar a falha. Tome e . Logo . - Conclusão: a comutatividade da soma falha.
Passo 5
Axioma 3 — Associatividade da soma.
- Preciso checar se
para todo . - Observação útil: a soma
depende só de (veja que não aparece em conforme definida). Defina a transformação por de modo que para todo . - Então
Logo a associatividade exigiria para todo . - Calculemos
. Se , escrevendo , temos Substituindo : E Observa-se que , portanto em geral (salvo quando ). - Use um contraexemplo numérico para visualizar: tome
, , . Por outro lado Assim . - Conclusão: associatividade da soma falha.
Passo 6
Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo
.
- Por definição, queremos algum
tal que para todo . - Usando a definição de soma,
. Para ter para todo precisamos que para todo . Essas equações equivalem a que só podem ser verdadeiras simultaneamente para . Ou seja, não existe um único que satisfaça para todo . - Também a condição
exigiria para todo , o que é impossível. - Conclusão: não existe elemento neutro aditivo; o axioma falha.
Passo 7
Axioma 5 — Existência do inverso aditivo.
- Esse axioma pede que para cada
exista com , onde é o neutro aditivo. - Já que no passo anterior vimos que não existe um neutro aditivo global
, a afirmação “para todo existe tal que ” não pode ser satisfeita no sentido exigido pelo axioma. - Consequentemente o axioma do inverso aditivo falha (não existe inverso universalmente definido porque não existe o neutro).
- Conclusão: inverso aditivo falha.
Passo 8
Axioma 6 — Fechamento pela multiplicação escalar.
- Definição prática: para todo
e todo , o vetor deve estar em . - Aqui
, que é claramente um par de reais, logo pertence a . - Conclusão: fechamento sob multiplicação por escalar é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7 — Compatibilidade da multiplicação escalar:
.
- Calculemos os dois lados para
. - Primeiro,
- Agora calcule
e depois : - Comparando,
Esses vetores não coincidem em geral (observe sinais e fatores diferentes). - Contraexemplo numérico: escolha
. Então enquanto . - Conclusão: a propriedade
falha.
Passo 10
Axioma 8 — Elemento escalar neutro
.
- Calcule
. - Para ter
para todo seria necessário e para todo , o que implicaria e para todo , impossível. - Portanto
em geral. - Conclusão: o axioma
falha.
Passo 11
Axioma 9 — Distributividade escalar em relação à soma de vetores:
.
- Calculemos os dois lados em termos de
e . - Primeiro,
. Então - Agora
e . A soma segundo a regra de soma é - Esses dois vetores não coincidem em geral. Por exemplo escolha
: Logo desigualdade. - Conclusão: a distributividade
falha.
Passo 12
Axioma 10 — Distributividade escalar em relação à soma de escalares:
.
- Calculemos:
- Por outro lado
e a soma segundo a regra de soma é - Esses resultados não são iguais em geral. Tome
e : Não coincidem. - Conclusão: a propriedade
falha.
Passo 13
Contagem final das propriedades que falham:
- Axiomas que SÃO satisfeitos: 1 (fechamento da soma) e 6 (fechamento pela multiplicação escalar).
- Axiomas que FALHAM: 2 (comutatividade), 3 (associatividade), 4 (neutro aditivo), 5 (inverso aditivo), 7 (compatibilidade
), 8 ( ), 9 (distributividade ), 10 (distributividade ). Isso dá 8 axiomas que falham (dos 10 listados).
Resposta
8