(10 pontos) Determine quantas propriedades de espaço vetorial falha cosiderando o conjunto V=\mathbb{R}^{2}, u, v \in V, u=(x, y), v=(a, b), com as operações
\begin{gathered} u+v=(2 x-2 y, y-x) \\\ \mathrm{e} \\\ \alpha \cdot v u=(3 \alpha x,-\alpha y) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas propriedades de espaço vetorial falham para o conjunto V=\mathbb{R}^2 com as operações dadas. Os dados do problema (peguei estes do enunciado) são:
  • Vetores genéricos: u=(x,y)\in V e v=(a,b)\in V.
  • A operação de soma é definida por
u+v=(2x-2y,\;y-x).
  • A operação de multiplicação por escalar é definida por
\alpha\cdot u=(3\alpha x,\; -\alpha y)
para \alpha\in\mathbb{R}.
O que se pede: verificar as propriedades (axiomas) de espaço vetorial e contar quantas delas falham.

Passo 2

Vamos primeiro listar, de forma clara e simples, os axiomas que vou testar (a lista padrão com 10 propriedades; cada uma vou explicar e testar):
  1. Fechamento da soma: u+v\in V para todo u,v\in V.
  2. Comutatividade da soma: u+v=v+u.
  3. Associatividade da soma: (u+v)+w=u+(v+w) para todo w\in V.
  4. Existência do elemento neutro aditivo 0: existe 0\in V com u+0=u para todo u.
  5. Existência do inverso aditivo: para todo u existe -u tal que u+(-u)=0.
  6. Fechamento pela multiplicação escalar: \alpha\cdot u\in V para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in V.
  7. Compatibilidade da multiplicação escalar: (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) para todo \alpha,\beta.
  8. Elemento neutro escalar: 1\cdot u = u para todo u.
  9. Distributividade escalar em relação à soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
  10. Distributividade escalar em relação à soma de escalares: (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
Vou checar cada propriedade, explicando o raciocínio e dando exemplos quando necessário.

Passo 3

Axioma 1 — Fechamento da soma.
  • Definição prática: se u,v\in V então u+v deve ser um elemento de V.
  • Aqui u+v=(2x-2y,\;y-x). Como 2x-2y e y-x são números reais para quaisquer x,y\in\mathbb{R}, o resultado está em \mathbb{R}^2=V.
  • Conclusão: o fechamento sob adição é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2 — Comutatividade da soma.
  • Preciso verificar se u+v=v+u para todos u,v.
  • Calculemos explicitamente: u+v=(2x-2y,\;y-x), \qquad v+u=(2a-2b,\;b-a).
  • Essas duas expressões não são iguais em geral (valores dependem de x,y versus a,b). Basta um contraexemplo numérico para mostrar a falha. Tome u=(1,0) e v=(0,0). u+v=(2\cdot1-2\cdot0,\;0-1)=(2,-1), \qquad v+u=(2\cdot0-2\cdot0,\;0-0)=(0,0).Logo u+v\neq v+u.
  • Conclusão: a comutatividade da soma falha.

Passo 5

Axioma 3 — Associatividade da soma.
  • Preciso checar se (u+v)+w=u+(v+w) para todo u,v,w.
  • Observação útil: a soma u+v depende só de u (veja que não aparece a,b em u+v conforme definida). Defina a transformação A por A(x,y)=(2x-2y,\;y-x),de modo que u+v=A(u) para todo v.
  • Então (u+v)+w = A(u+v)=A(A(u)), \qquad u+(v+w)=A(u).Logo a associatividade exigiria A(A(u))=A(u) para todo u.
  • Calculemos A(A(u)). Se A(u)=(2x-2y,\;y-x), escrevendo x'=2x-2y,\\ y'=y-x, temos A(A(u))=(2x'-2y',\;y'-x').Substituindo x',y': A(A(u))=(6(x-y),\;-3(x-y)).E A(u)=(2(x-y),\;-(x-y)).Observa-se que A(A(u))=3A(u), portanto A(A(u))\neq A(u) em geral (salvo quando A(u)=0).
  • Use um contraexemplo numérico para visualizar: tome u=(1,0), v=(0,0), w=(0,0). u+v=A(u)=(2,-1), \qquad (u+v)+w=A(2,-1)=(6,-3).Por outro lado v+w=A(v)=A(0,0)=(0,0), \qquad u+(v+w)=A(u)=(2,-1).Assim (u+v)+w\neq u+(v+w).
  • Conclusão: associatividade da soma falha.

Passo 6

Axioma 4 — Existência do elemento neutro aditivo 0.
  • Por definição, queremos algum e=(e_1,e_2)\in V tal que u+e=u para todo u.
  • Usando a definição de soma, u+e=A(u)=(2x-2y,\;y-x). Para ter u+e=u=(x,y) para todo x,y precisamos que 2x-2y = x,\qquad y-x = ypara todo x,y. Essas equações equivalem a x=2y,\qquad x=0,que só podem ser verdadeiras simultaneamente para x=y=0. Ou seja, não existe um único e que satisfaça u+e=u para todo u.
  • Também a condição e+u=u exigiria A(e)=u para todo u, o que é impossível.
  • Conclusão: não existe elemento neutro aditivo; o axioma falha.

Passo 7

Axioma 5 — Existência do inverso aditivo.
  • Esse axioma pede que para cada u exista -u com u+(-u)=0, onde 0 é o neutro aditivo.
  • Já que no passo anterior vimos que não existe um neutro aditivo global 0, a afirmação “para todo u existe -u tal que u+(-u)=0” não pode ser satisfeita no sentido exigido pelo axioma.
  • Consequentemente o axioma do inverso aditivo falha (não existe inverso universalmente definido porque não existe o neutro).
  • Conclusão: inverso aditivo falha.

Passo 8

Axioma 6 — Fechamento pela multiplicação escalar.
  • Definição prática: para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u=(x,y)\in V, o vetor \alpha\cdot u deve estar em V.
  • Aqui \alpha\cdot u=(3\alpha x,\; -\alpha y), que é claramente um par de reais, logo pertence a \mathbb{R}^2.
  • Conclusão: fechamento sob multiplicação por escalar é satisfeito.

Passo 9

Axioma 7 — Compatibilidade da multiplicação escalar: (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u).
  • Calculemos os dois lados para u=(x,y).
  • Primeiro, (\alpha\beta)u=(3(\alpha\beta)x,\; -(\alpha\beta)y)=(3\alpha\beta x,\; -\alpha\beta y).
  • Agora calcule \beta u=(3\beta x,\; -\beta y) e depois \alpha(\beta u): \alpha(\beta u)=\alpha\cdot(3\beta x,\;-\beta y)=(3\alpha(3\beta x),\; -\alpha(-\beta y))=(9\alpha\beta x,\; \alpha\beta y).
  • Comparando, (\alpha\beta)u=(3\alpha\beta x,\; -\alpha\beta y), \qquad \alpha(\beta u)=(9\alpha\beta x,\; \alpha\beta y).Esses vetores não coincidem em geral (observe sinais e fatores diferentes).
  • Contraexemplo numérico: escolha x=1,y=1,\alpha=\beta=1. Então (\alpha\beta)u=(3,-1) enquanto \alpha(\beta u)=(9,1).
  • Conclusão: a propriedade (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) falha.

Passo 10

Axioma 8 — Elemento escalar neutro 1\cdot u = u.
  • Calcule 1\cdot u=(3\cdot1\cdot x,\; -1\cdot y)=(3x,\;-y).
  • Para ter 1\cdot u = u=(x,y) para todo u seria necessário 3x=x e -y=y para todo x,y, o que implicaria x=0 e y=0 para todo x,y, impossível.
  • Portanto 1\cdot u\neq u em geral.
  • Conclusão: o axioma 1\cdot u = u falha.

Passo 11

Axioma 9 — Distributividade escalar em relação à soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
  • Calculemos os dois lados em termos de u=(x,y) e v=(a,b).
  • Primeiro, u+v=A(u)=(2x-2y,\;y-x). Então \alpha(u+v)=\alpha\cdot A(u)=(3\alpha(2x-2y),\; -\alpha(y-x))=(6\alpha(x-y),\;- \alpha(y-x)).
  • Agora \alpha u=(3\alpha x,\; -\alpha y) e \alpha v=(3\alpha a,\; -\alpha b). A soma segundo a regra de soma é \alpha u + \alpha v = A(\alpha u) = \bigl(2(3\alpha x)-2(-\alpha y),\; (-\alpha y)-(3\alpha x)\bigr)=(6\alpha x +2\alpha y,\; -\alpha y -3\alpha x).
  • Esses dois vetores não coincidem em geral. Por exemplo escolha u=(1,0), v=(0,0), \alpha=1: \alpha(u+v)=A(u)=(2,-1), \qquad \alpha u+\alpha v = A(\alpha u)=A( (3,0) )=(6, -3).Logo desigualdade.
  • Conclusão: a distributividade \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v falha.

Passo 12

Axioma 10 — Distributividade escalar em relação à soma de escalares: (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
  • Calculemos: (\alpha+\beta)u=(3(\alpha+\beta)x,\; -(\alpha+\beta)y)=(3\alpha x+3\beta x,\; -\alpha y -\beta y).
  • Por outro lado \alpha u=(3\alpha x,\; -\alpha y),\qquad \beta u=(3\beta x,\; -\beta y),e a soma segundo a regra de soma é \alpha u + \beta u = A(\alpha u) = \bigl(2(3\alpha x)-2(-\alpha y),\; (-\alpha y)-(3\alpha x)\bigr)=(6\alpha x +2\alpha y,\; -\alpha y -3\alpha x).
  • Esses resultados não são iguais em geral. Tome x=1,y=0 e \alpha=\beta=1: (\alpha+\beta)u=(6,0), \qquad \alpha u + \beta u = (6+0,\;0-3)=(6,-3).Não coincidem.
  • Conclusão: a propriedade (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u falha.

Passo 13

Contagem final das propriedades que falham:
  • Axiomas que SÃO satisfeitos: 1 (fechamento da soma) e 6 (fechamento pela multiplicação escalar).
  • Axiomas que FALHAM: 2 (comutatividade), 3 (associatividade), 4 (neutro aditivo), 5 (inverso aditivo), 7 (compatibilidade (\alpha\beta)u), 8 ( 1\cdot u=u ), 9 (distributividade \alpha(u+v)), 10 (distributividade (\alpha+\beta)u). Isso dá 8 axiomas que falham (dos 10 listados).

Resposta

8

Exercícios relacionados