Considere o conjunto
, munido da operação definida por:
(d) Existe elemento simétrico para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (são)?
Passo 1
O enunciado dá a operação
em
definida por
A pergunta (d) é: existe elemento simétrico para essa operação? Se existir(em), qual(is) é(são)?
Ou seja: para cada vetor queremos saber se existe um vetor
tal que a combinação
forneça o elemento neutro (identidade) da operação; e, se existir, determinar explicitamente esse(s)
.
Ou seja: para cada vetor
Passo 2
Primeiro precisamos achar o elemento neutro
Escrevendo as componentes:
Essas igualdades têm de valer para todo
) obtemos imediatamente
Portanto o elemento neutro é
. (Intuição útil: a operação corresponde ao produto de números complexos, e o neutro é
.)]
Passo 3
Agora definimos o elemento simétrico (inverso) de um dado
Escrevendo as componentes essa condição vira o sistema linear em
:
Podemos escrever esse sistema na forma matricial
Para resolver, calcule o determinante da matriz dos coeficientes:
Se
) a matriz é invertível e há solução única dada por Cramer. Calculando os determinantes auxiliares:
Logo
Portanto, para todo
com
, existe inverso e ele é
Passo 4
Verificação rápida (check): multiplicando pelas fórmulas acima obtém-se
confirmando que realmente é o inverso.
Passo 5
Caso especial
: então
. Não existe
com
porque
para todo
. Assim o vetor nulo
não tem elemento simétrico (inverso) para essa operação.
Passo 6
Unicidade do inverso: se existir um inverso para um dado elemento ele é único. Rápida justificativa (intuitiva): a fórmula que encontramos é solução única do sistema linear; alternativamente, usando a interpretação por números complexos, inverso multiplicativo é único. Ou seja, não há dois inversos diferentes para o mesmo elemento.
Resposta
Para
: o elemento simétrico é
.
Para : não existe elemento simétrico.
Para