Considere o conjunto \mathbb{R}^{2}, munido da operação definida por:
\left(x_{1}, x_{2}\right) \bigoplus\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1} y_{1}-x_{2} y_{2}, x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)
(d) Existe elemento simétrico para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (são)?

Passo 1

O enunciado dá a operação \oplus em \mathbb{R}^2 definida por
\left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus \left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2},\; x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right).
A pergunta (d) é: existe elemento simétrico para essa operação? Se existir(em), qual(is) é(são)?
Ou seja: para cada vetor a=(x_{1},x_{2}) queremos saber se existe um vetor b=(y_{1},y_{2}) tal que a combinação a\oplus b forneça o elemento neutro (identidade) da operação; e, se existir, determinar explicitamente esse(s) b.

Passo 2

Primeiro precisamos achar o elemento neutro e=(e_{1},e_{2})\) relativo a \(\oplus\). Por definição, \(e\) satisfaz, para todo \((x_{1},x_{2})\), \[(x_{1},x_{2})\oplus(e_{1},e_{2})=(x_{1},x_{2}).
Escrevendo as componentes:
\begin{cases} x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2}=x_{1},\\[4pt] x_{1}e_{2}+x_{2}e_{1}=x_{2}. \end{cases}
Essas igualdades têm de valer para todo x_{1},x_{2}\]. Igualando coeficientes (ou escolhendo valores especiais de \(x_{1},x_{2}) obtemos imediatamente
e_{1}=1,\qquad e_{2}=0.
Portanto o elemento neutro é (1,0). (Intuição útil: a operação corresponde ao produto de números complexos, e o neutro é 1+0i.)]

Passo 3

Agora definimos o elemento simétrico (inverso) de um dado a=(x_{1},x_{2})\) como um elemento \(b=(y_{1},y_{2})\) tal que \[(x_{1},x_{2})\oplus(y_{1},y_{2})=(1,0).
Escrevendo as componentes essa condição vira o sistema linear em y_{1},y_{2}:
\begin{cases} x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}=1,\\[4pt] x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}=0. \end{cases}
Podemos escrever esse sistema na forma matricial
\begin{pmatrix}x_{1} & -x_{2}\\[4pt] x_{2} & x_{1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt] y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Para resolver, calcule o determinante da matriz dos coeficientes:
D = x_{1}\cdot x_{1} - (-x_{2})\cdot x_{2} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.
Se D\neq 0\] (ou seja, se \((x_{1},x_{2})\neq(0,0)) a matriz é invertível e há solução única dada por Cramer. Calculando os determinantes auxiliares:
D_{1}=\det\begin{pmatrix}1 & -x_{2}\\[4pt] 0 & x_{1}\end{pmatrix}=1\cdot x_{1}-0\cdot(-x_{2})=x_{1},
D_{2}=\det\begin{pmatrix}x_{1} & 1\\[4pt] x_{2} & 0\end{pmatrix}=x_{1}\cdot 0-1\cdot x_{2}=-x_{2}.
Logo
y_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\qquad y_{2}=\frac{D_{2}}{D}=-\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
Portanto, para todo (x_{1},x_{2}) com x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\neq 0, existe inverso e ele é
\left(\dfrac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\; -\dfrac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right).]

Passo 4

Verificação rápida (check): multiplicando pelas fórmulas acima obtém-se
(x_{1},x_{2})\oplus\left(\dfrac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, -\dfrac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right) = \left(\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\; 0\right)=(1,0),
confirmando que realmente é o inverso.

Passo 5

Caso especial (x_{1},x_{2})=(0,0): então D=0. Não existe b com
(0,0)\oplus b=(1,0)
porque (0,0)\oplus(y_{1},y_{2})=(0,0) para todo (y_{1},y_{2}). Assim o vetor nulo (0,0) não tem elemento simétrico (inverso) para essa operação.

Passo 6

Unicidade do inverso: se existir um inverso para um dado elemento ele é único. Rápida justificativa (intuitiva): a fórmula que encontramos é solução única do sistema linear; alternativamente, usando a interpretação por números complexos, inverso multiplicativo é único. Ou seja, não há dois inversos diferentes para o mesmo elemento.

Resposta

Para (x_{1},x_{2})\neq(0,0): o elemento simétrico é \displaystyle\left(\dfrac{x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\; -\dfrac{x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right).
Para (x_{1},x_{2})=(0,0): não existe elemento simétrico.

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