Mostre que:
(ii)
não é duas vezes derivável em 0 , ou seja, não existe
.
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que:
não é duas vezes derivável em
, ou seja, que não existe
.
Informações dadas no enunciado recebido:
- Apenas a frase acima foi enviada: “Mostre que: (ii)
não é duas vezes derivável em ”. - Não foi fornecida a definição explícita da função
(ou expressão, gráfico, tabela, condição, etc.).
O que falta (informação necessária para resolver o item específico):
- A expressão ou a definição de
para perto de (ou pelo menos propriedades suficientes de que permitam avaliar limites envolvendo derivadas em ).
Passo 2
Por que a falta da definição impede prover a prova pedida?
- Para provar que
não existe é necessário trabalhar com a definição de derivada e calcular (ou mostrar que não existe) algum limite que define . - A definição de segunda derivada em
pode ser escrita de duas formas equivalentes (quando as expressões fazem sentido): e Outra expressão que muitas vezes é útil (se existir limite apropriado) é - Sem conhecer
não há como calcular nem avaliar qualquer uma dessas expressões. Portanto, não é possível demonstrar a afirmação específica para uma não fornecida.
Passo 3
O que costuma ser feito, em exercícios, para mostrar que
não existe — resumo de métodos que servem de receita para a prova na prova:
- Mostrar que
existe mas o limite não existe. Estratégias: - Encontrar duas sequências
e tais que os respectivos quocientes de diferença tenham limites distintos (método das duas sequências). - Mostrar que o quociente de diferença oscila sem limite (por exemplo, contém um termo
que diverge). - Mostrar que o quociente é não limitado (tende a
), o que impede existência de limite finito.
- Encontrar duas sequências
- Ou mostrar diretamente que
não existe, usando os mesmos tipos de argumentos (duas sequências, oscilação, divergência).
Passo 4
Para fixar a ideia: vou mostrar passo a passo um exemplo canônico — o tipo de argumento que provavelmente o seu exercício pede. Considere a função de exemplo
Irei provar que
existe porém
não existe. Isso ilustra exatamente a técnica usual.
a) Calcular
pela definição:
Explicação do limite: a função
é limitada por
e
, logo
Como
quando
, pelo teorema do confronto segue
Portanto
b) Calcular
para
(derivada por diferenciação usual):
Usando regra do produto e cadeia,
Usando regra do produto e cadeia,
Simplificando o segundo termo:
Observação: esse cálculo é direto: derivada de
é
; derivada de
é
, e o produto gera o termo cancelador
.
c) Agora usar a definição de
:
Substituindo a expressão de
para
:
d) Analisar o limite
:
- O termo
oscila entre e , portanto por si só não impede existência de limite finito; porém - O termo
é problemático: oscila entre e , e ao dividir por o quociente fica não limitado — pode crescer em módulo arbitrariamente grande com sinais que oscilam.
Para ver a não existência de limite de forma concreta, considere duas sequências que tendem a: - Tome
. Então e . Assim que tende a quando . - Tome
. Então e . Assim que tende a quando .
- Tome
- Como existem sequências
e para as quais e , o limite não existe (nem como número finito, nem mesmo como bem definido).
Portantonão existe para essa função de exemplo.]
Passo 5
Interpretação e ligação com o enunciado original:
- O exemplo acima ilustra a forma padrão de provar que a segunda derivada em
não existe: mostra-se que existe mas a diferença quociente que define não tem limite (aqui porque contém um termo que diverge). - Contudo, para o enunciado que você trouxe originalmente — “Mostre que: (ii)
não é duas vezes derivável em ” — não é possível dar uma prova direta aplicada ao seu caso concreto porque a função não foi especificada no enunciado que recebi.
Resposta
Não é possível provar nem refutar a afirmação para a função
pedida porque a definição da função
não foi fornecida no enunciado recebido.