Mostre que:
(ii) f não é duas vezes derivável em 0 , ou seja, não existe f^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que: f não é duas vezes derivável em 0, ou seja, que não existe f^{\prime\prime}(0).
Informações dadas no enunciado recebido:
  • Apenas a frase acima foi enviada: “Mostre que: (ii) f não é duas vezes derivável em 0”.
  • Não foi fornecida a definição explícita da função f (ou expressão, gráfico, tabela, condição, etc.).
O que falta (informação necessária para resolver o item específico):
  • A expressão ou a definição de f(x) para x perto de 0 (ou pelo menos propriedades suficientes de f que permitam avaliar limites envolvendo derivadas em 0).

Passo 2

Por que a falta da definição impede prover a prova pedida?
  • Para provar que f^{\prime\prime}(0) não existe é necessário trabalhar com a definição de derivada e calcular (ou mostrar que não existe) algum limite que define f^{\prime\prime}(0).
  • A definição de segunda derivada em 0 pode ser escrita de duas formas equivalentes (quando as expressões fazem sentido): f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h},e f''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}.Outra expressão que muitas vezes é útil (se existir limite apropriado) é f''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2f(0)+f(-h)}{h^2}.
  • Sem conhecer f não há como calcular nem avaliar qualquer uma dessas expressões. Portanto, não é possível demonstrar a afirmação específica para uma f não fornecida.

Passo 3

O que costuma ser feito, em exercícios, para mostrar que f^{\prime\prime}(0) não existe — resumo de métodos que servem de receita para a prova na prova:
  • Mostrar que f'(0) existe mas o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h} não existe. Estratégias:
    • Encontrar duas sequências h_n\to0 e k_n\to0 tais que os respectivos quocientes de diferença tenham limites distintos (método das duas sequências).
    • Mostrar que o quociente de diferença oscila sem limite (por exemplo, contém um termo \cos(1/h)/h que diverge).
    • Mostrar que o quociente é não limitado (tende a \pm\infty), o que impede existência de limite finito.
  • Ou mostrar diretamente que \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2f(0)+f(-h)}{h^2} não existe, usando os mesmos tipos de argumentos (duas sequências, oscilação, divergência).

Passo 4

Para fixar a ideia: vou mostrar passo a passo um exemplo canônico — o tipo de argumento que provavelmente o seu exercício pede. Considere a função de exemplo
f(x)=\begin{cases} x^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), & x\neq0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
Irei provar que f'(0) existe porém f''(0) não existe. Isso ilustra exatamente a técnica usual.
a) Calcular f'(0) pela definição:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)-0}{h} =\lim_{h\to0} h\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr).
Explicação do limite: a função \sin é limitada por -1 e 1, logo
- |h| \le h\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)\le |h|.
Como |h|\to0 quando h\to0, pelo teorema do confronto segue
\lim_{h\to0} h\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)=0.
Portanto
f'(0)=0.
b) Calcular f'(x) para x\neq0 (derivada por diferenciação usual):
Usando regra do produto e cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\sin(\tfrac{1}{x})\bigr) =2x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)+x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr).
Simplificando o segundo termo:
f'(x)=2x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),\qquad x\neq0.
Observação: esse cálculo é direto: derivada de x^2 é 2x; derivada de \sin(1/x) é \cos(1/x)\cdot(-1/x^2), e o produto gera o termo cancelador x^2\cdot(-1/x^2).
c) Agora usar a definição de f''(0):
f''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)}{h}.
Substituindo a expressão de f'(h) para h\neq0:
\frac{f'(h)}{h}=\frac{2h\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)}{h} =2\sin\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)-\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)}{h}.
d) Analisar o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\bigl(2\sin(\tfrac{1}{h})-\tfrac{\cos(\tfrac{1}{h})}{h}\bigr):
  • O termo 2\sin(\tfrac{1}{h}) oscila entre -2 e 2, portanto por si só não impede existência de limite finito; porém
  • O termo -\dfrac{\cos(\tfrac{1}{h})}{h} é problemático: \cos(\tfrac{1}{h}) oscila entre -1 e 1, e ao dividir por h\to0 o quociente fica não limitado — pode crescer em módulo arbitrariamente grande com sinais que oscilam.
    Para ver a não existência de limite de forma concreta, considere duas sequências que tendem a 0:
    • Tome h_n=\dfrac{1}{2\pi n}. Então \dfrac{1}{h_n}=2\pi n e \cos(\tfrac{1}{h_n})=\cos(2\pi n)=1. Assim \frac{f'(h_n)}{h_n}=2\sin(2\pi n)-\frac{\cos(2\pi n)}{h_n}=0-\frac{1}{h_n}=-\frac{1}{h_n}=-2\pi n,que tende a -\infty quando n\to\infty.
    • Tome k_n=\dfrac{1}{\pi+2\pi n}. Então \dfrac{1}{k_n}=\pi+2\pi n e \cos(\tfrac{1}{k_n})=\cos(\pi+2\pi n)=-1. Assim \frac{f'(k_n)}{k_n}=2\sin(\pi+2\pi n)-\frac{\cos(\pi+2\pi n)}{k_n}=0-\frac{-1}{k_n}=\frac{1}{k_n},que tende a +\infty quando n\to\infty.
  • Como existem sequências h_n\to0 e k_n\to0 para as quais \dfrac{f'(h_n)}{h_n}\to -\infty e \dfrac{f'(k_n)}{k_n}\to +\infty, o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f'(h)}{h} não existe (nem como número finito, nem mesmo como \pm\infty bem definido).
    Portanto f''(0) não existe para essa função de exemplo.]

Passo 5

Interpretação e ligação com o enunciado original:
  • O exemplo acima ilustra a forma padrão de provar que a segunda derivada em 0 não existe: mostra-se que f'(0) existe mas a diferença quociente que define f''(0) não tem limite (aqui porque contém um termo \cos(1/h)/h que diverge).
  • Contudo, para o enunciado que você trouxe originalmente — “Mostre que: (ii) f não é duas vezes derivável em 0” — não é possível dar uma prova direta aplicada ao seu caso concreto porque a função f não foi especificada no enunciado que recebi.

Resposta

Não é possível provar nem refutar a afirmação para a função f pedida porque a definição da função f não foi fornecida no enunciado recebido.

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