Considere o conjunto
, munido da operação definida por:
(c) Existe elemento neutro para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (são)?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação binária
A pergunta é: existe elemento neutro para essa operação? Se existir, qual(is) é(são)?
Dados relevantes: a operação está definida para quaisquer . O elemento neutro
deve satisfazer, para todo
,
Dados relevantes: a operação está definida para quaisquer
(e, se preferir, também
).
Passo 2
Vamos procurar um candidato genérico para o elemento neutro. Denote
com
. A condição de neutro é, para todo
,
Passo 3
Igualando componente a componente obtemos as igualdades que devem valer para todos
:
Essas são identidades bilineares em
e
; para que sejam verdadeiras para todo
os coeficientes relativos a
e
precisam coincidir. Comparando coeficientes na primeira igualdade:
Na segunda igualdade os coeficientes dão as mesmas condições:
Portanto
Passo 4
Concluímos que o único candidato que satisfaz as equações é
. Verificação direta:
para todo
. Um exemplo numérico para ficar mais concreto:
. Para contrastar,
, então
não é neutro.
Passo 5
Prova de unicidade (rápida e útil na prova): se
e
fossem ambos neutros então
, logo o neutro é único.