Considere o conjunto \mathbb{R}^{2}, munido da operação definida por:
\left(x_{1}, x_{2}\right) \bigoplus\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1} y_{1}-x_{2} y_{2}, x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)
(c) Existe elemento neutro para essa operação? Se existe(m) qual(is) é (são)?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbb{R}^{2} com a operação binária
\left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus \left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2},\; x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right).
A pergunta é: existe elemento neutro para essa operação? Se existir, qual(is) é(são)?
Dados relevantes: a operação está definida para quaisquer \left(x_{1},x_{2}\right),\left(y_{1},y_{2}\right)\in\mathbb{R}^{2}. O elemento neutro e deve satisfazer, para todo \left(x_{1},x_{2}\right)\in\mathbb{R}^{2},
\left(x_{1},x_{2}\right)\oplus e = \left(x_{1},x_{2}\right)
(e, se preferir, também e\oplus\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1},x_{2}\right)).

Passo 2

Vamos procurar um candidato genérico para o elemento neutro. Denote e=(e_{1},e_{2}) com e_{1},e_{2}\in\mathbb{R}. A condição de neutro é, para todo \left(x_{1},x_{2}\right),
\left(x_{1},x_{2}\right)\oplus\left(e_{1},e_{2}\right) = \left(x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2},\; x_{1}e_{2}+x_{2}e_{1}\right) = \left(x_{1},x_{2}\right).

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos as igualdades que devem valer para todos x_{1},x_{2}:
x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2}=x_{1}, \qquad x_{1}e_{2}+x_{2}e_{1}=x_{2}.
Essas são identidades bilineares em x_{1} e x_{2}; para que sejam verdadeiras para todo x_{1},x_{2} os coeficientes relativos a x_{1} e x_{2} precisam coincidir. Comparando coeficientes na primeira igualdade:
\text{coeficiente de }x_{1}:\; e_{1}=1, \qquad \text{coeficiente de }x_{2}:\; -e_{2}=0 \Rightarrow e_{2}=0.
Na segunda igualdade os coeficientes dão as mesmas condições:
\text{coeficiente de }x_{1}:\; e_{2}=0, \qquad \text{coeficiente de }x_{2}:\; e_{1}=1.
Portanto
e_{1}=1,\qquad e_{2}=0.

Passo 4

Concluímos que o único candidato que satisfaz as equações é e=(1,0). Verificação direta:
\left(x_{1},x_{2}\right)\oplus\left(1,0\right)=\left(x_{1}\cdot1-x_{2}\cdot0,\; x_{1}\cdot0+x_{2}\cdot1\right)=\left(x_{1},x_{2}\right),
para todo \left(x_{1},x_{2}\right). Um exemplo numérico para ficar mais concreto: \left(3,4\right)\oplus\left(1,0\right)=\left(3,4\right). Para contrastar, \left(1,0\right)\oplus\left(0,0\right)=\left(0,0\right)\neq\left(1,0\right), então \left(0,0\right) não é neutro.

Passo 5

Prova de unicidade (rápida e útil na prova): se e e e' fossem ambos neutros então e=e\oplus e'=e', logo o neutro é único.

Resposta

(1,0)

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