(10 pontos) Determine a(s) equação(ôes) polar(es) equivalente à equação cartesiana (x-3)^2+(y+1)^2=4. Descreva a curva e esboce-a.
l x^2-6 x+9+y^2+2 y+1=4 x^2+y^2-6 x+2 y+6=0 p^2-6 cdot(p cdot cos theta)+2(p cdot sen theta)+6=0 p^2-6 p cdot cos theta+2 p cdot sen theta+6=0
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Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas polares a curva dada por
(x-3)^2+(y+1)^2=4
O conteúdo necessário é a relação entre coordenadas cartesianas e polares, ou seja
x = pcostheta, y = psintheta

Passo 2

Expandimos a equação cartesiana:
(x-3)^2+(y+1)^2=4
fica
x^2-6x+9 + y^2+2y+1 = 4
e, reunindo termos,
x^2+y^2-6x+2y+6 = 0

Passo 3

Substituindo (x,y)=(pcostheta,psintheta) na expressão acima, obtemos
p^2-6,pcostheta+2,psintheta+6 = 0,
que é a forma implícita da equação em coordenadas polares.

Passo 4

Alternativamente, podemos simplesmente reescrever a equação original como
(pcostheta - 3)^2 + (psintheta + 1)^2 = 4,
o que é totalmente equivalente à forma do passo 3.

Passo 5

A curva definida é um círculo de centro em (3,-1) e raio 2. Em coordenadas cartesianas, isso corresponde a um círculo deslocado três unidades à direita e uma para baixo em relação à origem. O esboço é esse círculo centrado em (3,-1) com raio 2.

Resposta

Equações polares equivalentes:
(pcostheta - 3)^2 + (psintheta + 1)^2 = 4,
p^2 - 6,pcostheta + 2,psintheta + 6 = 0
A curva é um círculo de centro (3,-1) e raio 2.

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