Determinar a equação da parábola, o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo das parábolas e construir seu gráfico, sabendo-se que:
Eixo de simetria paralelo ao eixo y e passa pelos pontos A(0,1), B(1,0) e C(2,3).

Passo 1

O enunciado pede uma parábola com eixo paralelo ao eixo y que passe pelos pontos A(0,1), B(1,0) e C(2,3). Para parábolas de “eixo vertical” usamos a forma geral
y = A x^2 + B x + C
e determinamos A,B,C impondo que os três pontos satisfaçam essa equação.

Passo 2

Substituindo cada ponto na forma
Da segunda equação . Portanto a parábola é

Passo 3

Para parábolas y = Ax^2 + Bx + C o eixo de simetria tem equação
x = -B2A
e o vértice é l(h,kr) com h = -tfracB2A e k = f(h). Aqui
h = --32cdot 2 = 34, k = 2l(tfrac34r)^2 - 3l(tfrac34r) +1 = 98 - 94 + 1 = -18
Logo o vértice é
boxedVl(tfrac34, -tfrac18r),
e o eixo de simetria é
boxedx = 34

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica
y + tfrac18 = 2l(x - tfrac34r)^2,
vemos que A = 2 = tfrac14p, isto é,
p = 14A = 18
Como a parábola abre para cima, o foco fica a p acima do vértice e a diretriz é a reta horizontal p abaixo do vértice:
boxedFl(tfrac34, -tfrac18 + tfrac18r) = l(tfrac34,0r), boxeddiretriz: y = -tfrac18 - tfrac18 = -tfrac14

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
– Marque o vértice V(tfrac34,-,tfrac18).
– Desenhe o foco F(tfrac34,0) e a diretriz y=-tfrac14.
– Trace o eixo de simetria x=tfrac34.
– Como a parábola abre para cima, desenhe a curva simetricamente em relação a x=tfrac34, passando pelos pontos A, B e C.

Resposta

Equação da parábola:
y = 2x^2 - 3x + 1
Vértice: l(tfrac34, -tfrac18r).
Foco: l(tfrac34,0r).
Diretriz: y = -tfrac14
Eixo de simetria: x = tfrac34

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