Determinar a equação da parábola, o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo das parábolas e construir seu gráfico, sabendo-se que:
Eixo de simetria paralelo ao eixo x e passa pelos pontos A(3,2), B(7,-2) e C(4,4).

Passo 1

O enunciado pede a parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo x que passa pelos pontos A(3,2), B(7,-2) e C(4,4). Esse tipo de parábola tem forma canônica
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
onde (h,k) é o vértice e p determina a distância vértice–foco. Vamos achar h, k e p impondo que A, B e C satisfazem essa equação.

Passo 2

Substituindo cada ponto em (y - k)^2 = 4p,(x - h) obtemos o sistema
(2 - k)^2 = 4p,(3 - h), (-2 - k)^2 = 4p,(7 - h), (4 - k)^2 = 4p,(4 - h)
Denote
A1=(2-k)^2, A2=(k+2)^2, A3=(4-k)^2
Então as equações viram
A1=4p(3-h), A2=4p(7-h), A3=4p(4-h)

Passo 3

Para eliminar h e p usamos diferenças. Por exemplo,
A2 - A3 = 4pl((7-h)-(4-h)r)=12p, A3 - A1 = 4pl((4-h)-(3-h)r)=4p
Logo
A2 - A312=A3 - A14 ;Longrightarrow; A2 = 4A3 - 3A1
Substituindo A1=k^2-4k+4, A2=k^2+4k+4, A3=k^2-8k+16 resulta
k^2+4k+4 ;=;4(k^2-8k+16)-3(k^2-4k+4) ;Longrightarrow;k=2

Passo 4

Com k=2, calculamos p e h. De A3 - A1 =4p vem
A3=(4-2)^2=4, A1=(2-2)^2=0 ;Longrightarrow;4-0=4p ;Longrightarrow;p=1
E de A1=4p(3-h) obtemos
0=4cdot1,(3-h) ;Longrightarrow;h=3

Passo 5

Agora temos a forma canônica
(y-2)^2 = 4,(x-3)
O vértice é (h,k)=(3,2). Como p=1>0, a parábola abre para a direita e o foco é
F=(h+p,;k)=(3+1,;2)=(4,2)
A diretriz é a reta vertical
x = h - p = 3 - 1 = 2,
e o eixo de simetria é a reta horizontal
y = k = 2
No gráfico, a parábola tem vértice em (3,2), passa por A, B, C, abre à direita, com foco em (4,2) e diretriz x=2.

Resposta

Equação da parábola:
(y-2)^2 = 4,(x-3)
Vértice: (3,2)
Foco: (4,2)
Diretriz: x=2
Eixo de simetria: y=2
Gráfico: parábola horizontal abrindo para a direita, vértice em (3,2), passando por A(3,2), B(7,-2), C(4,4).

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