Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} integrável em cada intervalo fechado e limitado de \mathbb{R}. O limite \lim _{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} f(x) d x, caso exista, é conhecido como valor principal de Cauchy de f, denotado por p.v. \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x.
(a) ( 5 pontos) Mostre por meio de contraexemplo que o valor principal de Cauchy pode existir mas a integral imprópria associada \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x não necessariamente converge.
(b) (10 pontos) Porém, se a integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x converge, mostre que
\text { p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x
Passo 1
O enunciado trata de uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é integrável em todo intervalo fechado e limitado, e define o valor principal de Cauchy
quando esse limite existe. Precisamos:
– (a) dar um contraexemplo em que esse limite sim existe, mas a integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx não converge;
– (b) provar que, se \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx converge como integral imprópria usual, então ela coincide com o valor principal de Cauchy.
Passo 2
Contraexemplo para (a): escolha
f(x)=x.
Essa função é contínua em \mathbb{R}, logo integrável em qualquer intervalo fechado e limitado. Para todo t>0 temos
isto é, o valor principal de Cauchy existe e coincide com a integral imprópria.
Resposta
(a) Um contraexemplo é f(x)=x: o p.v. \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx=0, mas a integral imprópria diverge.
(b) Se \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx converge a um valor I, então por definição de limite duplo segue que \text{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=I.