Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} integrável em cada intervalo fechado e limitado de \mathbb{R}. O limite \lim _{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} f(x) d x, caso exista, é conhecido como valor principal de Cauchy de f, denotado por p.v. \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x.
(a) ( 5 pontos) Mostre por meio de contraexemplo que o valor principal de Cauchy pode existir mas a integral imprópria associada \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x não necessariamente converge.
(b) (10 pontos) Porém, se a integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x converge, mostre que
\text { p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x

Passo 1

O enunciado trata de uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é integrável em todo intervalo fechado e limitado, e define o valor principal de Cauchy
\text{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\,dx,
quando esse limite existe. Precisamos:
– (a) dar um contraexemplo em que esse limite sim existe, mas a integral imprópria \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx não converge;
– (b) provar que, se \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx converge como integral imprópria usual, então ela coincide com o valor principal de Cauchy.

Passo 2

Contraexemplo para (a): escolha
f(x)=x.
Essa função é contínua em \mathbb{R}, logo integrável em qualquer intervalo fechado e limitado. Para todo t>0 temos
\int_{-t}^{t}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-t}^{t} =\frac{t^2}{2}-\frac{(-t)^2}{2} =0.
Assim
\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}x\,dx =0,
ou seja, o valor principal de Cauchy existe e vale 0.

Passo 3

Contudo, a integral imprópria usual
\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx =\int_{-\infty}^{0}x\,dx+\int_{0}^{\infty}x\,dx
não converge, pois cada termo diverge:
\int_{0}^{\infty}x\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{b^2}{2} =+\infty, \quad \int_{-\infty}^{0}x\,dx =\lim_{a\to-\infty}\frac{a^2}{2} =+\infty.
Logo a integral imprópria não existe, embora o p.v. seja 0.

Passo 4

Prova de (b): suponha que a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{\substack{a\to-\infty\b\to\infty}} \int_{a}^{b}f(x)\,dx
exista e seja igual a um número finito I. Pela definição de limite duplo, dado \varepsilon>0 existe M>0 tal que, sempre que a<-M e b> M, valha
\Bigl|\int_{a}^{b}f(x)\,dx - I\Bigr|<\varepsilon.
Em particular, para qualquer t>M podemos escolher a=-t e b=t e então
\Bigl|\int_{-t}^{t}f(x)\,dx - I\Bigr|<\varepsilon.
Isso mostra que
\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\,dx =I,
isto é, o valor principal de Cauchy existe e coincide com a integral imprópria.

Resposta

(a) Um contraexemplo é f(x)=x: o p.v. \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx=0, mas a integral imprópria diverge.
(b) Se \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx converge a um valor I, então por definição de limite duplo segue que
\text{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=I.

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