A soma dos volumes destes infinitos sólidos cilíndricos diferenciais converge para uma integral definida, que representa o volume do sólido de revolução. Determine essa integral e calcule o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos volumes de infinitos cilindros diferenciais converge para uma integral definida que representa o volume de um sólido de revolução, e pede: (1) determinar essa integral e (2) calcular o volume do sólido.
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são necessárias para obter uma integral única e um valor numérico):
  • a função ou curvas que descrevem a região a ser girada (por exemplo y=f(x) ou x=g(y));
  • os limites da região (por exemplo a e b no intervalo de integração);
  • o eixo de rotação (por exemplo eixo x, eixo y, reta vertical/horizontal deslocada);
    Sem esses dados não é possível escrever uma única integral numérica nem calcular um valor numérico para o volume. A seguir eu explico, passo a passo, como se constrói a integral a partir da soma dos cilindros diferenciais e dou as fórmulas padrão que aparecem nesse processo.

Passo 2

Ideia básica (intuição dos cilindros diferenciais):
  • Imagine uma fatia muito fina da região original; ao girá‑la em torno de um eixo ela gera um cilindro (ou anel cilíndrico) muito fino.
  • O volume desse “cilindro diferencial” tem forma geral área da base (ou área lateral, dependendo do método) vezes espessura. Somando/integrando esses dv obtém‑se o volume total.
    Vou derivar as duas fórmulas mais usadas (método das cascas cilíndricas e método dos discos/anjos), explicando cada termo.

Passo 3

Método das cascas cilíndricas (fácil quando se usa fatias paralelas ao eixo de rotação):
  • Situação típica: região no plano dada por y=f(x) para a\le x\le b, girando em torno do eixo y (ou de uma reta vertical).
  • Considere uma fatia vertical em x de largura \,dx e altura \,f(x). Ao girar em torno do eixo y essa fatia forma uma casca cilíndrica de raio aproximado x, altura aproximada f(x) e espessura dx.
  • A área lateral de uma casca cilíndrica de raio x e altura f(x) é 2\pi x\cdot f(x). Multiplicando pela espessura dx obtém‑se o volume diferencial:
dV = 2\pi x\,f(x)\,dx.
  • Integrando de x=a até x=b obtemos o volume total:
V = 2\pi\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx.
Explicação das variáveis: x é o raio da casca, f(x) é a altura da casca e dx a espessura. A constante 2\pi vem da circunferência da casca.

Passo 4

Método dos discos / anéis (fácil quando se usa fatias perpendiculares ao eixo de rotação):
  • Situação típica: região no plano entre as curvas y=f(x) e y=g(x) (com f(x)\ge g(x)\ge0 para a\le x\le b), girando em torno do eixo x (ou de uma reta horizontal).
  • Em x fixe, a rotação produz um anel cilíndrico com raio externo R(x)=f(x) e raio interno r(x)=g(x). A área da secção transversal do anel é \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big). Multiplicando pela espessura dx obtemos o volume diferencial:
dV = \pi\big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx.
  • Integrando de x=a a x=b:
V = \pi\int_{a}^{b} \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx.
Casos especiais: se a região é limitada pelo eixo x (ou seja g(x)=0), então
V=\pi\int_{a}^{b} f(x)^2\,dx.

Passo 5

Como escolher o método na prova (dica prática e rápida):
  • Se o eixo de rotação é vertical e a descrição natural da região usa y=f(x) com fatias verticais, usar cascas é geralmente mais simples (evita inverter funções).
  • Se o eixo é horizontal e a descrição natural usa y=f(x) com fatias verticais, muitas vezes usar discos/anjos é direto.
  • Regra intuitiva: escolha o método que leva a integrar em relação à variável já presente no enunciado, sem precisar resolver a curva explicitamente para a outra variável.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a técnica — isto é apenas exemplificativo, não inventa o seu enunciado):
  • Região sob y=x em 0\le x\le1, girando em torno do eixo x. Usando discos:
V=\pi\int_{0}^{1} x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{\pi}{3}.
  • Se essa mesma região (área sob y=x de 0 a 1) for girada em torno do eixo y, usando cascas:
V=2\pi\int_{0}^{1} x\cdot x\,dx=2\pi\int_{0}^{1} x^2\,dx=2\pi\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Esses exemplos mostram como se monta a integral e como se avalia.

Passo 7

Conclusão aplicável ao seu enunciado: a soma dos volumes diferenciais se traduz numa das integrais padrão acima, dependendo da geometria:
  • Se o enunciado descreve a região por y=f(x) no intervalo [a,b] e a rotação é em torno do eixo y (ou uma reta vertical), então a integral requerida é
V = 2\pi\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx.
  • Se a rotação é em torno do eixo x (ou outra reta horizontal) e a região fica entre y=f(x) e y=g(x), então a integral é
V = \pi\int_{a}^{b} \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx.
Sem a função f (e possivelmente g), os limites a,b e o eixo de rotação, não é possível calcular um valor numérico para V.

Resposta

V = 2\pi\displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx \quad (método das cascas, se a região y=f(x) é girada em torno de um eixo vertical)\n V = \pi\displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx \quad (método dos discos/anjos, se a região entre y=f(x) e y=g(x) é girada em torno de um eixo horizontal)\nNão é possível calcular um valor numérico para o volume sem que sejam fornecidos a(s) função(ões) f (e possivelmente g), os limites a,b e o eixo de rotação.

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