A soma dos volumes destes infinitos sólidos cilíndricos diferenciais converge para uma integral definida, que representa o volume do sólido de revolução. Determine essa integral e calcule o volume do sólido.
Passo 1
O enunciado diz que a soma dos volumes de infinitos cilindros diferenciais converge para uma integral definida que representa o volume de um sólido de revolução, e pede: (1) determinar essa integral e (2) calcular o volume do sólido.
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são necessárias para obter uma integral única e um valor numérico):
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são necessárias para obter uma integral única e um valor numérico):
- a função ou curvas que descrevem a região a ser girada (por exemplo
ou ); - os limites da região (por exemplo
e no intervalo de integração); - o eixo de rotação (por exemplo eixo
, eixo , reta vertical/horizontal deslocada);
Sem esses dados não é possível escrever uma única integral numérica nem calcular um valor numérico para o volume. A seguir eu explico, passo a passo, como se constrói a integral a partir da soma dos cilindros diferenciais e dou as fórmulas padrão que aparecem nesse processo.
Passo 2
Ideia básica (intuição dos cilindros diferenciais):
- Imagine uma fatia muito fina da região original; ao girá‑la em torno de um eixo ela gera um cilindro (ou anel cilíndrico) muito fino.
- O volume desse “cilindro diferencial” tem forma geral área da base (ou área lateral, dependendo do método) vezes espessura. Somando/integrando esses dv obtém‑se o volume total.
Vou derivar as duas fórmulas mais usadas (método das cascas cilíndricas e método dos discos/anjos), explicando cada termo.
Passo 3
Método das cascas cilíndricas (fácil quando se usa fatias paralelas ao eixo de rotação):
- Situação típica: região no plano dada por
para , girando em torno do eixo (ou de uma reta vertical). - Considere uma fatia vertical em
de largura e altura . Ao girar em torno do eixo essa fatia forma uma casca cilíndrica de raio aproximado , altura aproximada e espessura . - A área lateral de uma casca cilíndrica de raio
e altura é . Multiplicando pela espessura obtém‑se o volume diferencial:
- Integrando de
até obtemos o volume total:
Explicação das variáveis:
é o raio da casca,
é a altura da casca e
a espessura. A constante
vem da circunferência da casca.
Passo 4
Método dos discos / anéis (fácil quando se usa fatias perpendiculares ao eixo de rotação):
- Situação típica: região no plano entre as curvas
e (com para ), girando em torno do eixo (ou de uma reta horizontal). - Em
fixe, a rotação produz um anel cilíndrico com raio externo e raio interno . A área da secção transversal do anel é . Multiplicando pela espessura obtemos o volume diferencial:
- Integrando de
a :
Casos especiais: se a região é limitada pelo eixo
(ou seja
), então
Passo 5
Como escolher o método na prova (dica prática e rápida):
- Se o eixo de rotação é vertical e a descrição natural da região usa
com fatias verticais, usar cascas é geralmente mais simples (evita inverter funções). - Se o eixo é horizontal e a descrição natural usa
com fatias verticais, muitas vezes usar discos/anjos é direto. - Regra intuitiva: escolha o método que leva a integrar em relação à variável já presente no enunciado, sem precisar resolver a curva explicitamente para a outra variável.
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar a técnica — isto é apenas exemplificativo, não inventa o seu enunciado):
- Região sob
em , girando em torno do eixo . Usando discos:
- Se essa mesma região (área sob
de a ) for girada em torno do eixo , usando cascas:
Esses exemplos mostram como se monta a integral e como se avalia.
Passo 7
Conclusão aplicável ao seu enunciado: a soma dos volumes diferenciais se traduz numa das integrais padrão acima, dependendo da geometria:
- Se o enunciado descreve a região por
no intervalo e a rotação é em torno do eixo (ou uma reta vertical), então a integral requerida é
- Se a rotação é em torno do eixo
(ou outra reta horizontal) e a região fica entre e , então a integral é
Sem a função
(e possivelmente
), os limites
e o eixo de rotação, não é possível calcular um valor numérico para
.