Realizando um corte vertical e abrindo este sólido cilíndrico diferencial, tem-se um paralelepípedo infinitesimal. Desenhe-o, indicando os comprimentos de suas 3 dimensões. Qual é a função que representa o volume deste sólido cilíndrico diferencial?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Desenhar (descrever) o paralelepípedo infinitesimal obtido ao cortar verticalmente uma casca cilíndrica diferencial e abri‑la, indicando os comprimentos das suas três dimensões.
- Encontrar a função que representa o volume desse sólido cilíndrico diferencial.
Informações que usaremos (condições geométricas típicas do elemento diferencial):
- A casca está a uma distância radial
do eixo. - Tem espessura radial infinitesimal
. - Subtende um ângulo infinitesimal
(em radianos) no sentido circunferencial. - Tem altura (axial)
; quando se trabalha em coordenadas cilíndricas tridimensionais essa altura diferencial é .
Passo 2
Descrevendo a geometria: pense numa casca cilíndrica muito fina entre raios
e
, de altura
, e que ocupa um setor angular de amplitude
. Se fizer um corte vertical ao longo da altura e “abrir” essa casca, a superfície curva vira aproximadamente um paralelepípedo muito fino.
Indicar as três dimensões desse paralelepípedo:
- Dimensão axial (altura):
. - Espessura radial:
. - Comprimento no sentido circunferencial (a “base” que vem da curva): é o arco de círculo de raio
e ângulo , ou seja .
Observação didática sobre o comprimento do arco: o comprimento exato de um arco de ângulo
é
. Para um ângulo infinitesimal
o arco vale exatamente
.
Passo 3
Agora, o volume do paralelepípedo infinitesimal é simplesmente o produto das três dimensões (produto de comprimentos ortogonais, todos infinitesimais):
Portanto
Passo 4
Explicação alternativa (para entender por que o termo
aparece): considere a área de um setor anular de raio entre
e
e ângulo
. A área desse setor é
Como
é de ordem superior e negligenciável, fica
. Multiplicando pela altura
obtém‑se novamente
mesmo resultado visto antes. Isso mostra geometricamente que o fator
é o “fator de alongamento” da coordenada angular.
Passo 5
Generalização para o elemento volumétrico em coordenadas cilíndricas tridimensionais: se a altura diferencial for escrita como
(em vez de uma altura finita
), o elemento de volume total em coordenadas
é
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância radial ao eixo (posição do anel). -
: pequena variação radial. -
: pequeno ângulo (radianos). -
: pequena variação axial (altura infinitesimal).
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): tome
,
,
rad e
. Então
Ou seja, o elemento tem volume aproximado
(unidades cúbicas), mostrando a aplicação direta da fórmula.
Resposta
As três dimensões do paralelepípedo infinitesimal são
.
Em coordenadas cilíndricas (altura diferencial
):