Realizando um corte vertical e abrindo este sólido cilíndrico diferencial, tem-se um paralelepípedo infinitesimal. Desenhe-o, indicando os comprimentos de suas 3 dimensões. Qual é a função que representa o volume deste sólido cilíndrico diferencial?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Desenhar (descrever) o paralelepípedo infinitesimal obtido ao cortar verticalmente uma casca cilíndrica diferencial e abri‑la, indicando os comprimentos das suas três dimensões.
  • Encontrar a função que representa o volume desse sólido cilíndrico diferencial.
Informações que usaremos (condições geométricas típicas do elemento diferencial):
  • A casca está a uma distância radial r do eixo.
  • Tem espessura radial infinitesimal \,dr.
  • Subtende um ângulo infinitesimal \,d\theta (em radianos) no sentido circunferencial.
  • Tem altura (axial) h; quando se trabalha em coordenadas cilíndricas tridimensionais essa altura diferencial é \,dz.

Passo 2

Descrevendo a geometria: pense numa casca cilíndrica muito fina entre raios r e r+dr, de altura h, e que ocupa um setor angular de amplitude d\theta. Se fizer um corte vertical ao longo da altura e “abrir” essa casca, a superfície curva vira aproximadamente um paralelepípedo muito fino.
Indicar as três dimensões desse paralelepípedo:
  • Dimensão axial (altura): \,h.
  • Espessura radial: \,dr.
  • Comprimento no sentido circunferencial (a “base” que vem da curva): é o arco de círculo de raio r e ângulo d\theta, ou seja \;r\,d\theta.
Observação didática sobre o comprimento do arco: o comprimento exato de um arco de ângulo \theta é s=r\theta. Para um ângulo infinitesimal \,d\theta o arco vale exatamente \,r\,d\theta.

Passo 3

Agora, o volume do paralelepípedo infinitesimal é simplesmente o produto das três dimensões (produto de comprimentos ortogonais, todos infinitesimais):
dV = (\text{altura})\times(\text{espessura radial})\times(\text{comprimento do arco})
dV = h \cdot dr \cdot (r\,d\theta).
Portanto
dV = r\,h\,dr\,d\theta.

Passo 4

Explicação alternativa (para entender por que o termo r aparece): considere a área de um setor anular de raio entre r e r+dr e ângulo d\theta. A área desse setor é
\text{Área}=\frac{1}{2}\big((r+dr)^2 - r^2\big)\,d\theta =\frac{1}{2}(2r\,dr + (dr)^2)\,d\theta.Á
Como (dr)^2 é de ordem superior e negligenciável, fica \text{Área}\approx r\,dr\,d\thetaÁ. Multiplicando pela altura h obtém‑se novamente
dV \approx r\,dr\,d\theta\;h,
mesmo resultado visto antes. Isso mostra geometricamente que o fator r é o “fator de alongamento” da coordenada angular.

Passo 5

Generalização para o elemento volumétrico em coordenadas cilíndricas tridimensionais: se a altura diferencial for escrita como \,dz (em vez de uma altura finita h), o elemento de volume total em coordenadas (r,\theta,z) é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,r: distância radial ao eixo (posição do anel).
  • \,dr: pequena variação radial.
  • \,d\theta: pequeno ângulo (radianos).
  • \,dz: pequena variação axial (altura infinitesimal).

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): tome r=1{,}0, dr=0{,}01, d\theta=0{,}02 rad e h=5. Então
dV = r\,h\,dr\,d\theta = 1{,}0\cdot 5\cdot 0{,}01\cdot 0{,}02 = 0{,}001.
Ou seja, o elemento tem volume aproximado \,0{,}001 (unidades cúbicas), mostrando a aplicação direta da fórmula.

Resposta

As três dimensões do paralelepípedo infinitesimal são \;h,\;dr,\;r\,d\theta.
\boxed{dV = r\,h\,dr\,d\theta}
Em coordenadas cilíndricas (altura diferencial \,dz):
\boxed{dV = r\,dr\,d\theta\,dz}

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