(10 pontos ) Calcule \int_{1}^{2}\left(x^{2}(x+1)^{2}-x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(x^{2}(x+1)^{2}-x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
\,x varia de \,1 até \,2.
A integranda é \,x^{2}(x+1)^{2}-x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.
A tarefa é avaliar a integral definida e obter um número.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar. Agrupando os termos com \,x^{2} temos:
x^{2}(x+1)^{2}-x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = x^{2}\big((x+1)^{2}-1\big)+x^{-2}.
Agora desenvolvendo (x+1)^{2} e subtraindo 1:
(x+1)^{2}-1 = (x^{2}+2x+1)-1 = x^{2}+2x.
Multiplicando por \,x^{2} obtemos
x^{2}(x^{2}+2x)=x^{4}+2x^{3}.
Logo a integranda simplificada é
x^{4}+2x^{3}+x^{-2}.
Portanto a integral vira
\int_{1}^{2}\left(x^{4}+2x^{3}+x^{-2}\right)\,dx.

Passo 3

Vou lembrar a regra básica de antiderivação que usaremos (regra de potência):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq-1.
Aqui n é o expoente de x. Aplicamos termo a termo porque a integral é linear:
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
No caso do termo \,x^{-2} temos n=-2, então
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
Essas são as ferramentas que vamos usar.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},
\int 2x^{3}\,dx=2\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{2},
\int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) da integranda é
F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}-\frac{1}{x}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)-F(1). Calculamos F(2) primeiro:
F(2)=\frac{2^{5}}{5}+\frac{2^{4}}{2}-\frac{1}{2} =\frac{32}{5}+8-\frac{1}{2}.
Colocando tudo sobre o denominador comum \,10:
\frac{32}{5}= \frac{64}{10},\qquad 8=\frac{80}{10},\qquad -\frac{1}{2}=-\frac{5}{10}.
Somando:
F(2)=\frac{64+80-5}{10}=\frac{139}{10}.

Passo 6

Agora calculamos F(1):
F(1)=\frac{1^{5}}{5}+\frac{1^{4}}{2}-\frac{1}{1} =\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-1.
Denominador comum \,10:
\frac{1}{5}=\frac{2}{10},\qquad \frac{1}{2}=\frac{5}{10},\qquad -1=-\frac{10}{10}.
Somando:
F(1)=\frac{2+5-10}{10}=\frac{-3}{10}.

Passo 7

Subtraindo F(2)-F(1):
\frac{139}{10}-\left(-\frac{3}{10}\right)=\frac{139+3}{10}=\frac{142}{10}=\frac{71}{5}.
Pronto — esse é o valor da integral.

Resposta

\dfrac{71}{5}

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