(10 pontos) Para a função f(x, y)=e^x y sen y, calcule as derivadas parciais:
(b) partial fpartial y(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f(x,y)=e^x ysin y em relação a y. Vamos usar o conceito de derivada parcial (tratando x como constante), a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

A regra do produto diz que, para duas funções de y, u(y) e v(y), temos: ddyl(u(y)v(y)r)=u'(y)v(y)+u(y)v'(y)Aqui, u(y)=e^x y e v(y)=sin y.

Passo 3

Calculamos cada derivada necessária mantendo x constante. Pela regra da cadeia, a derivada de u(y)=e^xy em relação a y é u'(y)=x e^x y. A derivada de v(y)=sin y é v'(y)=cos y.

Passo 4

Aplicando a regra do produto temos:
partial fpartial y=u'(y)v(y)+u(y)v'(y)=x e^x ysin y+e^x ycos y
Fatorando e^xy, obtemos a forma final simplificada.

Resposta

partial fpartial y(x,y)=e^x yl(xsin y+cos yr).

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