Determine os pontos críticos de: w=log 4(x^2+y^2+z^2+1)

Passo 1

O problema quer achar os pontos críticos da função w=log4(x^2+y^2+z^2+1). O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais e condição de gradiente nulo. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia em logaritmos e depois impor nabla w=0.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais usando a fórmula ddul(log4ur)=1uln4. Por exemplo, para x temos:
partial wpartial x =1ln4;1x^2+y^2+z^2+1;partialpartial x(x^2+y^2+z^2+1) =1ln4;2xx^2+y^2+z^2+1 =2x(x^2+y^2+z^2+1)ln4
De modo análogo, obtemos
partial wpartial y=2y(x^2+y^2+z^2+1)ln4,
partial wpartial z=2z(x^2+y^2+z^2+1)ln4

Passo 3

Para achar os pontos críticos, impomos todas as derivadas parciais iguais a zero. Como o denominador (x^2+y^2+z^2+1)ln4 é sempre positivo, a única forma de zerar cada derivada é fazendo
2x=0,
2y=0,
2z=0
Logo, x=0, y=0 e z=0.

Passo 4

Portanto, o único ponto crítico da função é o ponto (0,0,0).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0,0).

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