Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de: z=x^2.

Passo 1

A função é f(x,y)=x^2. O assunto aqui é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular o gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para ver se o ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcule o gradiente de f:

Passo 3

Igualando o gradiente a zero, temos 2x=0 e 0=0, ou seja, x=0 e y é livre. Assim, (0,0) é ponto crítico.

Passo 4

Agora calculamos a Hessiana de f:

Passo 5

No ponto (0,0) essa Hessiana vale

Passo 6

Para usar o teste da Hessiana verificamos os menores principais determinantes:

Passo 7

Como D_1>0 mas D_2=0, o teste de concavidade é inconclusivo (é caso degenerado).
Mesmo assim, note que f(x,y)=x^2 ≥0 para todo (x,y) e f(0,0)=0. Ou seja, em qualquer vizinhança de (0,0) o valor de f nunca desce abaixo de 0. Portanto, (0,0) é um ponto de mínimo local (embora não seja estrito).

Resposta

A origem é um ponto de mínimo local (não estrito).

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