(20 pontos) Considere a função
f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)
(b) (1 ponto) Quais as condições para uma função f ser contínua em (x0, y0) ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de duas maneiras: uma para quando não é e outra quando é exatamente . A pergunta é: quais são as condições para essa função ser contínua em um ponto específico . Basicamente, estamos falando de continuidade em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidadde é tipo a função não ter “pulso”, não ter “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Para funções de duas variáveis, a gente olha para o comportamento da função quando se aproxima do ponto de interesse de qualquer direção.

Passo 3

A primeira condição para a continuidade é que o limite da função quando se aproxima de exista. Isso significa que não importa por onde você chegue perto desse ponto, o valor que a função está se aproximando tem que ser o mesmo.

Passo 4

A segunda condição é que esse limite que a gente calculou no passo anterior seja igual ao valor da função no ponto . Ou seja, se a gente substitui e na função, o resultado tem que ser igual ao limite que encontramos.

Resposta

Para que a função seja contínua no ponto , precisam ocorrer duas condições:
  1. O limite de quando se aproxima de existe.
  2. Esse limite é igual ao valor de no ponto , ou seja, .

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