(20 pontos) Considere a função
(b) (1 ponto) Quais as condições para uma função
ser contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida de duas maneiras: uma para quando
não é
e outra quando
é exatamente
. A pergunta é: quais são as condições para essa função
ser contínua em um ponto específico
. Basicamente, estamos falando de continuidade em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidadde é tipo a função não ter “pulso”, não ter “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Para funções de duas variáveis, a gente olha para o comportamento da função quando se aproxima do ponto de interesse
de qualquer direção.
Passo 3
A primeira condição para a continuidade é que o limite da função
quando
se aproxima de
exista. Isso significa que não importa por onde você chegue perto desse ponto, o valor que a função está se aproximando tem que ser o mesmo.
Passo 4
A segunda condição é que esse limite que a gente calculou no passo anterior seja igual ao valor da função no ponto
. Ou seja, se a gente substitui
e
na função, o resultado tem que ser igual ao limite que encontramos.
Resposta
Para que a função
seja contínua no ponto
, precisam ocorrer duas condições:
- O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual ao valor de
no ponto , ou seja, .