minutes
0
5
15
20
30
feet
0
40
70
65
80
A hot air balloon is launched into the air with a human pilot. The twice-differentiable function
models the balloon’s height, measured in feet, at time
, measured in minutes. The table above gives values of the
of the balloon at selected times
.
For
, must there be a time
when the balloon is 50 feet in the air? Justify your answer.
|
0 | 5 | 15 | 20 | 30 | ||
|
0 | 40 | 70 | 65 | 80 |
For
Passo 1
O enunciado pergunta: para
, existe necessariamente um instante
em que a altura da bola de ar quente é
pés?
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- A função
mede a altura em pés em função do tempo em minutos. - A tabela fornece
e . (Estou usando os dados da tabela.) - A função
é duas vezes diferenciável (ou seja, é diferenciável e sua derivada também é diferenciável) em todo o domínio considerado. - Queremos uma justificação convincente, não só uma resposta intuitiva.
Passo 2
O que significa a informação “duas vezes diferenciável” e por que isso importa aqui?
- Se uma função é duas vezes diferenciável em um intervalo, então em particular ela é diferenciável nesse intervalo.
- Se uma função é diferenciável em um intervalo, então ela é contínua nesse intervalo.
- Continuidade é a propriedade que nos permite usar um resultado chamado Teorema do Valor Intermediário. Em linguagem simples: uma função contínua não “pula” valores — se ela tem valor
em um ponto e valor em outro, ela assume todos os valores intermediários entre e alguma vez entre esses pontos.
Passo 3
Vou enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma clara:
Aqui “entre” significa que ou
ou
.
Passo 4
Verificação das hipóteses do TVI no nosso caso:
- Temos
duas vezes diferenciável, logo é contínua em . Portanto a hipótese de continuidade do TVI está satisfeita. (Expliquei isso no Passo 2.) - Das entradas da tabela:
e . Peguei esses valores da tabela fornecida no enunciado. - O número
está entre e , pois .
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário com
,
,
e
: como
é contínua em
e
está entre
e
, o TVI garante que existe pelo menos um ponto
com
tal que
. Ou seja, existe um instante
entre
e
minutos em que a altura é
pés.
Passo 6
Observações adicionais úteis para a prova:
- O TVI garante existência, mas não garante unicidade: pode haver mais de um tempo em que
. Sem informação extra sobre a monotonicidade de não dá para afirmar que esse instante seja único. - Em uma resposta de prova curta, o argumento essencial é: “Como
é contínua em e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe com .”
Resposta
Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em
e
, existe
tal que
.