t
minutes
0 5 15 20 30
h(t)
feet
0 40 70 65 80
A hot air balloon is launched into the air with a human pilot. The twice-differentiable function h models the balloon’s height, measured in feet, at time t, measured in minutes. The table above gives values of the h(t) of the balloon at selected times t.
For 5 \leq t \leq 15, must there be a time t when the balloon is 50 feet in the air? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado pergunta: para 5\le t\le 15, existe necessariamente um instante t em que a altura da bola de ar quente é 50 pés?
Informações dadas e relevantes:
  • A função h mede a altura em pés em função do tempo t em minutos.
  • A tabela fornece h(5)=40 e h(15)=70. (Estou usando os dados da tabela.)
  • A função h é duas vezes diferenciável (ou seja, é diferenciável e sua derivada também é diferenciável) em todo o domínio considerado.
  • Queremos uma justificação convincente, não só uma resposta intuitiva.

Passo 2

O que significa a informação “duas vezes diferenciável” e por que isso importa aqui?
  • Se uma função é duas vezes diferenciável em um intervalo, então em particular ela é diferenciável nesse intervalo.
  • Se uma função é diferenciável em um intervalo, então ela é contínua nesse intervalo.
  • Continuidade é a propriedade que nos permite usar um resultado chamado Teorema do Valor Intermediário. Em linguagem simples: uma função contínua não “pula” valores — se ela tem valor A em um ponto e valor B em outro, ela assume todos os valores intermediários entre A e B alguma vez entre esses pontos.

Passo 3

Vou enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma clara:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }L\text{ é um número entre }f(a)\text{ e }f(b),\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que }f\text{(c)}=L.éíéúã
Aqui “entre” significa que ou f(a)\le L\le f(b) ou f(b)\le L\le f(a).

Passo 4

Verificação das hipóteses do TVI no nosso caso:
  • Temos h duas vezes diferenciável, logo h é contínua em [5,15]. Portanto a hipótese de continuidade do TVI está satisfeita. (Expliquei isso no Passo 2.)
  • Das entradas da tabela: h(5)=40 e h(15)=70. Peguei esses valores da tabela fornecida no enunciado.
  • O número 50 está entre 40 e 70, pois 40 < 50 < 70.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário com f=h, a=5, b=15 e L=50: como h é contínua em [5,15] e 50 está entre h(5) e h(15), o TVI garante que existe pelo menos um ponto c com c\in(5,15) tal que h\text{(c)}=50. Ou seja, existe um instante t entre 5 e 15 minutos em que a altura é 50 pés.

Passo 6

Observações adicionais úteis para a prova:
  • O TVI garante existência, mas não garante unicidade: pode haver mais de um tempo em que h(t)=50. Sem informação extra sobre a monotonicidade de h não dá para afirmar que esse instante seja único.
  • Em uma resposta de prova curta, o argumento essencial é: “Como h é contínua em [5,15] e h(5)=40<50<h(15)=70, pelo Teorema do Valor Intermediário existe t\in(5,15) com h(t)=50.”

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como h é contínua em [5,15] e h(5)=40<50<h(15)=70, existe t\in(5,15) tal que h(t)=50.

Exercícios relacionados