(10 pontos). O objeto de massa m1 desliza sem velocidade inicial ao longo de uma rampa sem atrito a partir de uma altura h=100 m e colide com o bloco de massa m2=52 m1, inicialmente em repouso. Após a colisão o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético é muc=0,5 e para depois de percorrer uma distância d nesta região. Qual o valor da distância d se a colisão é:
a) ( 6,0 pontos). Perfeitamente elástica?
b) (2,0 pontos). Perfeitamente inelástica?
c) (2,0 pontos). O bloco de massa m1 recuará, ficará parado ou avançará? Justifique a resposta mostrando o quanto ele se deslocará (para frente ou para trás) ou mostre que ele ficará parado.
Expresse o resultado em termos dos parâmetros do enunciado na forma mais reduzida possível, e utilize aceleração da gravidade g, caso necessário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois blocos que colidem após um dos eles descer uma rampa sem atrito a partir de uma altura de 100 metros. A massa do segundo bloco é 2,5 vezes a do primeiro. Depois da colisão, o segundo bloco desliza em uma região com atrito e para após percorrer uma distância d. A gente vai focar na parte a), que é quando a colisão é perfeitamente elástica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e de momento, além das fórmulas do atrito. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco m₁ quando ele chega ao final da rampa. Como a rampa é sem atrito e o bloco parte do repouso, toda a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética.
A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m1 cdot g cdot h
Onde:
  • $ m_1 $ é a massa do bloco,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9,8 m/s²),
  • $ h $ é a altura (100 m).
A energia cinética final será:
m1
Como $ E_p = E_c $:
g
Podemos simplificar $ m_1 $ dos dois lados:
h
Resolvendo para $ v $:
Ec = 12 m1 v^2

Passo 3

Agora, vamos considerar a colisão perfeitamente elástica entre os blocos m₁ e m₂. Numa colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados.
Primeiro, vamos usar a conservação do momento:
m1 v1 = m1 v1' + m2 v2'
E a conservação da energia cinética:
12 m1 v1^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Sabendo que $ m_2 = \frac{5}{2} m_1 $, podemos substituir e resolver essas equações para encontrar as velocidades pós-colisão $ v_1’ $ e $ v_2’ $.

Passo 4

Após resolver as equações de conservação de momento e energia, obtemos que, para uma colisão perfeitamente elástica:
v2' = 2 m1m1 + m2 v1
Substituindo $ m_2 = \frac{5}{2} m_1 $:
m2 = 52 m1
Então, a velocidade do bloco m₂ após a colisão é $ \frac{4}{7} v_1 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância d que o bloco m₂ percorre antes de parar. Sabemos que a única força fazendo o bloco parar é a força de atrito, que causa uma desaceleração.
A força de atrito é:
Fatrito = muc cdot m2 cdot g
A aceleração devido ao atrito é:
a = Fatritom2 = muc cdot g
Essa aceleração é negativa porque está desacelerando o bloco. Usando a equação do movimento:
vf^2 = vi^2 + 2 a d
Como o bloco para, $ v_f = 0 $. Então:
vf = 0
Resolvendo para d:
0 = ( 47 v1 )^2 - 2 muc g d

Passo 6

Substituindo $ v_1 = \sqrt{2 g h} $ na equação de d:
v1 = raiz2 g h
Calculando:
d = ( 47 raiz2 g h )^22 muc g

Resposta

A distância d que o bloco m₂ percorre é:
d = 16 h49 muc
Substituindo os valores dados:
d = 16 cdot 10049 cdot 0,5 approx 160024,5 approx 65,31 metros

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