4.6 Num fio de cobre de seção reta 1 mm^2 circula uma corrente de 10 A . Sabendo que a concentração de elétrons livres é N=8,5 times 10^22 cm^-3, calcule: a) O nível de Fermi, nas mesmas aproximações do Problema 4.2 ; b) A velocidade de Fermi; c) A velocidade de deriva dos elétrons. Compare com vF e interprete o resultado.

Passo 1

Então, o problema é o seguinte: num fio de cobre de seção reta N = 8,5times10^22,cm^-3, passa uma corrente . Sabemos que a concentração de elétrons livres é
O que pedem é:
a) o nível de Fermi (mesmas aproximações de gás de elétrons livres);
b) a velocidade de Fermi ;
c) a velocidade de deriva , comparar com e interpretar.
Para isso vamos precisar:
  1. Converter para unidade SI ( ).
  2. Usar a fórmula do gás de elétrons livres pro nível de Fermi
    .
  3. Calcular .
  4. Calcular e comparar com .

Passo 2

Primeiro convertemos a concentração:
n = N = 8,5times10^22,cm^-3 = 8,5times10^28,m^-3,
Agora usamos
EF ;=;hbar^22m,(3pi^2 n)^2/3,,
com 3pi^2 n simeq 3cdot(9,87)cdot8,5times10^28 approx 2,52times10^30, e EF = (1,054times10^-34)^22cdot9,11times10^-31 ; times 1,85times10^20 approx 1,13times10^-18,J ;approx 7,06,eV, .
  1. Calcular :
  1. Fazendo .
  2. Então

Passo 3

Para a velocidade de Fermi usamos
vF = raiz2EFm = raiz2cdot1,13times10^-189,11times10^-31 approx 1,57times10^6,m/s,

Passo 4

Agora a velocidade de deriva vd = In,e,A,, . A fórmula é
vd = 10(8,5times10^28)(1,60times10^-19)(1times10^-6) approx 7,35times10^-4,m/s,
onde vdvFsim10^-10,, e .
Comparando com , vemos que
ou seja, a velocidade média de deriva é bilhões de vezes menor que a velocidade típica de Fermi. Isso mostra que, apesar dos elétrons estarem “correndo” muito rápido por causa da distribuição de Fermi, o deslocamento médio causado pela corrente é extremamente lento.

Resposta

a) .
b) .
c) , muito menor que , mostrando que a deriva é super lenta comparada à agitação quântica dos elétrons.

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