Uma carga está fixa na origem, e uma carga está a 5 metros de distância no eixo q1=+6 , mu C . Em que posição ao longo do eixo q2=-4 , mu C uma terceira carga pode ser colocada para que a força resultante sobre ela seja zero?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas cargas fixas no eixo x: uma positiva q1 = +6, mu C na origem e uma negativa q2 = -4, mu C a 5 metros de distância. A parada aqui é encontrar onde colocar uma terceira carga q3 ao longo do eixo x para que a força total sobre ela seja zero. Vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e entender como as forças se equilibram.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas elétricas é dada por:
F = k cdot |q1 cdot q2|r^2
onde k é a constante de Coulomb ( 8,99 times 10^9 , Nm²/C²²²), q1 e q2 são as cargas, e r é a distância entre elas.

Passo 3

Queremos que a força total sobre q3 seja zero. Isso significa que a força que q1 exerce em q3 deve ser igual e oposta à força que q2 exerce em q3. Vamos chamar a distância entre q1 e q3 de x, então a distância entre q2 e q3 será |x - 5|.

Passo 4

Aplicando a Lei de Coulomb para ambas as forças:
F1 = k cdot |q1 cdot q3|x^2
F2 = k cdot |q2 cdot q3|(x - 5)^2
Como queremos que F1 = F2, podemos igualar as duas expressões:
|q1|x^2 = |q2|(x - 5)^2

Passo 5

Substituindo os valores das cargas:
6, mu Cx^2 = 4, mu C(x - 5)^2
Podemos simplificar os microcoulombs ( mu C):
6x^2 = 4(x - 5)^2

Passo 6

Resolvendo a equação:
6(x - 5)^2 = 4x^2
Expandindo (x - 5)^2:
6(x^2 - 10x + 25) = 4x^2
Distribuindo o 6:
6x^2 - 60x + 150 = 4x^2
Levando todos os termos para um lado:
6x^2 - 4x^2 - 60x + 150 = 0
Simplificando:
2x^2 - 60x + 150 = 0
Dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 30x + 75 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
x = 30 pm raiz(-30)^2 - 4 cdot 1 cdot 752
Calculando o discriminante:
raiz900 - 300 = raiz600 approx 24,49
Então:
x = 30 pm 24,492
Isso dá duas soluções:
x1 = 30 + 24,492 approx 27,25 , m
x2 = 30 - 24,492 approx 2,75 , m

Passo 8

Agora, vamos analisar qual dessas posições faz sentido. Se colocarmos q3 entre as duas cargas (entre 0 e 5 metros), as forças exercidas por q1 e q2 em q3 seriam na mesma direção, então não se cancelariam. Portanto, a posição válida é x approx 27,25 metros, à direita de q2.

Resposta

A terceira carga q3 deve ser colocada aproximadamente a 27,25 metros da origem no eixo x para que a força resultante sobre ela seja zero.

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