( 10,0 pontos) Pretende-se construir uma câmara frigorifica na cidade de São Paulo cuja temperatura ambiente média de verăo é de 31^{\circ} \mathrm{C}. A área total das paredes da câmara é de 50 \mathrm{m}^{2} e a câmara frigorífica será utilizada para conservação de frangos congelados, assim, podese considerar que a temperatura do ar no interior da câmara será de -20^{\circ} \mathrm{C}. O material utilizado para construção das paredes, chamado de placa termoisolante, é constituido de uma placa de isolante entre duas placas de aço inoxidável. A condutividade térmica do isolante é de \mathrm{k}_{\mathrm{ias}}=0,04 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) e a espessura da placa de aço inoxidável é de 4 mm . O coeficiente de conveção interno é de 8 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right), o coeficiente de convecção externo é de 16 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e a temperatura na superficie interna da parede da câmara é de -5,45^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se determinar a temperatura na superficie externa da parede da câmara.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura na superfície externa da parede da câmara frigorífica.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram no enunciado):
\begin{aligned} &\text{Temperatura média externa (ar ambiente): }T_{\text{amb}}=31^\circ\text{C},\\\ &\text{Temperatura do ar no interior da câmara: }T_{\text{in}}=-20^\circ\text{C},\\\ &\text{Área total das paredes: }A=50\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Temperatura na superfície interna da parede: }T_{s,i}=-5{,}45^\circ\text{C},\\\ &\text{Condutividade térmica do isolante: }k_{\text{ias}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\;K)},\\\ &\text{Espessura da placa de aço inoxidável: }L_{\text{aço}}=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Coeficiente de convecção interno: }h_i=8\\ \mathrm{W/(m^2\;K)},\\\ &\text{Coeficiente de convecção externo: }h_e=16\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}. \end{aligned}éâÁíéçáççãçã
Pergunta explícita: encontrar T_{s,e} (temperatura na superfície externa da parede).
Observação importante: o enunciado não informa a espessura da camada isolante (vamos chamar de L_{\text{ias}}). Também não informou a condutividade térmica do aço inoxidável k_{\text{aço}}ç. Estas quantidades são necessárias para calcular a queda de temperatura por condução através do núcleo isolante e através das chapas de aço.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas básicas (aula rápida, para você entender o raciocínio na prova).
  • Em regime estacionário unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área q'' (W/m²) atravessa em série: convecção interna, condução nas camadas (aço interior, isolante, aço exterior) e convecção externa. O fluxo é o mesmo em toda a série.
  • Resistência térmica por convecção (por unidade de área):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}\quad\text{(unidade: m}^2\text{K/W)}.
Aqui h é o coeficiente de convecção (W/m²K).
  • Resistência térmica por condução de uma camada homogênea (por unidade de área):
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}\quad\text{(unidade: m}^2\text{K/W)},
onde L é a espessura da camada (m) e k a condutividade térmica (W/mK).
  • A soma das resistências em série dá a resistência térmica total por unidade de área:
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,\,in}}+R_{\text{cond,\,camadas}}+R_{\text{conv,\,out}}.
  • O fluxo de calor por unidade de área é:
q''=\frac{T_{\text{in}}-T_{\text{amb}}}{R_{\text{tot}}}.
  • Relação local entre temperaturas em duas superfícies separadas por uma resistência R:
\Delta T=q''\cdot R.
Isso significa que, se eu souber q'' e as resistências, posso obter quedas de temperatura e, assim, a temperatura de qualquer superfície intermediária.

Passo 3

Usando a informação fornecida sobre a superfície interna: podemos calcular imediatamente o fluxo de calor por unidade de área associado à convecção interna (isto é útil e direto). A lei de convecção linear diz
q''=h_i\bigl(T_{s,i}-T_{\text{in}}\bigr).
Substituindo os valores fornecidos:
q''=8\cdot\bigl(-5{,}45-(-20)\bigr)=8\cdot 14{,}55=116{,}4\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: o fluxo de calor que entra pela parede (por unidade de área) é 116{,}4\\ \mathrm{W/m^2}. Esse valor deve ser o mesmo que atravessa todas as resistências seguintes (condução nas camadas e convecção externa).

Passo 4

Expressão que liga T_{s,e} às resistências (fórmula que você usaria na prova). Se chamarmos de R_{\text{cond,tot}} a resistência total por condução entre a superfície interna da parede e a superfície externa (ou seja, soma das resistências do aço interno + isolante + aço externo, por área), então a queda de temperatura entre as superfícies interna e externa é
T_{s,i}-T_{s,e}=q''\;R_{\text{cond,tot}}.
Além disso, a convecção externa implica
q''=h_e\bigl(T_{\text{amb}}-T_{s,e}\bigr).
Essas duas equações juntas (mais o valor de q'' obtido no passo anterior) determinariam T_{s,e}, desde que conheçamos R_{\text{cond,tot}}.

Passo 5

Expressão detalhada de R_{\text{cond,tot}} (isto é, a “aula” sobre como montar a resistência de uma placa sandwich):
R_{\text{cond,tot}}=\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\frac{L_{\text{ias}}}{k_{\text{ias}}}+\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} =2\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\frac{L_{\text{ias}}}{k_{\text{ias}}}.çççççç
Observações didáticas:
  • L_{\text{aço}}ç é a espessura de cada chapa de aço (aqui dada: 0{,}004\\ \mathrm{m}).
  • k_{\text{aço}}ç é a condutividade térmica do aço inox (não foi fornecida no enunciado; típico: k_{\text{aço}}\approx 15\text{–}25\\ \mathrm{W/mK}ç, mas um valor preciso tem que ser informado na questão para cálculo).
  • L_{\text{ias}} é a espessura do isolante (não informada no enunciado).
  • k_{\text{ias}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(mK)} está fornecido e entrou na expressão.

Passo 6

Substituindo o q'' (do passo 3) na relação entre superfícies internas e externas, obtemos a fórmula prática para T_{s,e}:
T_{s,e}=T_{s,i}-q''\;R_{\text{cond,tot}}.
Ou, usando a convecção externa,
T_{s,e}=T_{\text{amb}}-\frac{q''}{h_e}.
A segunda fórmula só é válida se a queda de temperatura por condução entre T_{s,i} e T_{s,e} for nula (isto é, se R_{\text{cond,tot}} for desprezível). Em geral ambas as expressões devem ser compatibilizadas: o mesmo T_{s,e} deve satisfazer as duas relações e o q'' obtido pela convecção interna.

Passo 7

Agora discutimos a informação ausente e o que isso implica (importante para a prova: sempre verifique os dados que faltam).
  • Para calcular corretamente T_{s,e} precisamos de R_{\text{cond,tot}}, portanto precisamos de L_{\text{ias}} (espessura do isolante). Sem L_{\text{ias}} não é possível calcular a queda de temperatura por condução através do isolante.
  • Também não foi dada k_{\text{aço}}ç, a condutividade do aço inox; porém, as resistências das chapas de aço são normalmente muito pequenas comparadas à do isolante (porque o aço tem condutividade grande), por isso, se o enunciado aceitasse desprezar as chapas de aço, bastaria conhecer L_{\text{ias}}. Mas mesmo nesse caso a espessura do isolante é obrigatória.
    Portanto falta a informação essencial L_{\text{ias}}. Sem ela não há solução numérica única.

Passo 8

Para te ajudar na prova, eu te dou a fórmula final que você deve aplicar caso o enunciado forneça L_{\text{ias}} (ou se você quiser testar valores): primeiro calcule
R_{\text{cond,tot}}=2\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\frac{L_{\text{ias}}}{k_{\text{ias}}},çç
então
T_{s,e}=T_{s,i}-q''\;R_{\text{cond,tot}},
onde q''=116{,}4\\ \mathrm{W/m^2} (valor calculado no passo 3). Se você não confia em k_{\text{aço}}ç, pode desprezar a contribuição do aço (aproximação razoável quando L_{\text{ias}} é muito maior que L_{\text{aço}}ç e o isolante tem baixa condutividade), ficando
T_{s,e}\approx T_{s,i}-q''\frac{L_{\text{ias}}}{k_{\text{ias}}}.
Exemplo ilustrativo (não pediste, mas serve para intuição): se L_{\text{ias}}=0{,}01\\ \mathrm{m} então
R_{\text{ias}}=\frac{0{,}01}{0{,}04}=0{,}25\\ \mathrm{m^2K/W},
e a queda de temperatura no isolante é
\Delta T_{\text{ias}}=q''R_{\text{ias}}=116{,}4\cdot 0{,}25=29{,}1^\circ\text{C},
ou seja T_{s,e}\approx -5{,}45-29{,}1=-34{,}55^\circ\text{C} (resultado que mostra a sensibilidade: parede fina de isolante resulta em grandes quedas). Esse exemplo só ilustra que, sem L_{\text{ias}}, não há resposta única.

Passo 9

Observação final: se alguém na prova, por engano, usar apenas a relação de convecção externa com o q'' calculado no passo 3 (ou seja, ignorar condução), obtém
T_{s,e}=T_{\text{amb}}-\frac{q''}{h_e}=31-\frac{116{,}4}{16}=31-7{,}275=23{,}725^\circ\text{C}.
Esse cálculo é aritmética correta, mas fisicamente corresponde a assumir que não há queda por condução entre as superfícies interna e externa — hipótese geralmente inválida aqui. Use essa aproximação somente se o problema indicar que a resistência de condução é desprezível.

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_{s,e} porque falta a espessura do isolante L_{\text{ias}} (e também não foi dada a condutividade do aço inox k_{\text{aço}}ç). Com L_{\text{ias}} conhecido, usar
T_{s,e}=T_{s,i}-q''\Bigl(2\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}+\frac{L_{\text{ias}}}{k_{\text{ias}}}\Bigr),çç
onde q''=116{,}4\\ \mathrm{W/m^2}.

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