Em um longo canal retangular de 2,5 \mathrm{~m} de largura, coeficiente de rugosidade n=0,016 e declividade de fundo I_{0}=0,010 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, escoa uma vazão constante de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} \mathrm{em} regime uniforme. Em uma dada seção existe um degrau construído para provocar um ressalto hidráulico a sua montante. Assumindo escoamento crítico sobre o degrau, determine as profundidades conjugadas do ressalto e a altura do degrau.
[Resp: y_{1}=y_{n}=0,96 \mathrm{~m}, y_{2}=1,43 \mathrm{~m}, \Delta z=0,08 \mathrm{~m} ]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Largura do canal: \;b=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de rugosidade de Manning: \;n=0{,}016.
  • Declividade do fundo (inclinação): \;I_0=0{,}010.
  • Vazão constante: \;Q=10\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Foi construído um degrau que provoca um ressalto hidráulico a montante do degrau.
  • Assume-se que o escoamento sobre o degrau é crítico (isto é, no degrau a profundidade é a profundidade crítica).
Perguntas pedidas:
  1. Determinar as profundidades conjugadas do ressalto (profundidade antes do ressalto \;y_1 e depois do ressalto \;y_2).
  2. Determinar a altura do degrau \;\Delta z.
Observações úteis (dados que serão usados): aceleração da gravidade \;g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Encontrar a profundidade normal \;y_n da corrente uniforme sem o degrau (essa será usada como \;y_1 no problema). Para canais práticos usa-se a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • A é a área molhada, para retângulo A=b\,y;
  • P é o perímetro molhado, P=b+2y;
  • R é o raio hidráulico, R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{b\,y}{b+2y};
  • S é a declividade do fundo (aqui S=I_0);
  • n é Manning.
Substituindo as expressões para um retângulo temos uma equação em y. Normalmente resolve-se por tentativa/iteração; aqui verificamos que \;y=0{,}96\\ \mathrm{m} é a solução por verificação direta (ou por iteração numérica rápida).
Verificação (substituindo \;y=0{,}96\\ \mathrm{m}):
A=b\,y=2{,}5\cdot 0{,}96=2{,}40\\ \mathrm{m^2},
P=b+2y=2{,}5+2\cdot 0{,}96=4{,}42\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}=\frac{2{,}40}{4{,}42}\approx 0{,}543,
R^{2/3}\approx 0{,}543^{2/3}\approx 0{,}666,
\sqrt{S}=\sqrt{0{,}010}=0{,}1.
Agora a vazão prevista pela fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}A R^{2/3}\sqrt{S}=\frac{1}{0{,}016}\cdot 2{,}40\cdot 0{,}666\cdot 0{,}1\approx 9{,}99\\ \mathrm{m^3/s}\approx 10\\ \mathrm{m^3/s}.
Portanto \;y_n=0{,}96\\ \mathrm{m} é a profundidade normal correspondente. Vamos adotar \;y_1=y_n=0{,}96\\ \mathrm{m} como a profundidade do escoamento supercrítico que chega ao ressalto.

Passo 3

Calcular a velocidade média e o número de Froude na seção upstream (seção 1) com \;y_1=0{,}96\\ \mathrm{m}.
Área já calculada: \;A=2{,}40\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V_1=\frac{Q}{A}=\frac{10}{2{,}40}=4{,}1667\\ \mathrm{m/s}.
Número de Froude para canal retangular:
F_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}.
Calculando:
\sqrt{g\,y_1}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}96}=\sqrt{9{,}4176}\approx 3{,}069,
F_1=\frac{4{,}1667}{3{,}069}\approx 1{,}358.

Passo 4

Determinar a profundidade conjugada \;y_2 (a profundidade subcrítica após o ressalto) usando a relação clássica para ressalto em canal retangular (resultado da conservação do impulso ou momento específico):
\frac{y_2}{y_1}=\frac{-1+\sqrt{1+8F_1^2}}{2}.
Essa fórmula vem da equação do momento específico para canal retangular; eu explico rapidamente: conserva-se a força de pressão mais o ímpeto (termo de quantidade de movimento) entre as seções antes e depois do salto, resultando nessa relação que liga y_1,\;y_2 e F_1.
Aplicando os números:
1+8F_1^2=1+8(1{,}358)^2=1+8(1{,}846)\approx 1+14{,}768=15{,}768,
\sqrt{1+8F_1^2}\approx \sqrt{15{,}768}\approx 3{,}9735,
\frac{y_2}{y_1}=\frac{-1+3{,}9735}{2}=\frac{2{,}9735}{2}=1{,}4867.
Logo
y_2 = 1{,}4867\cdot y_1 = 1{,}4867\cdot 0{,}96 \approx 1{,}427\\ \mathrm{m}\approx 1{,}43\\ \mathrm{m}.
Portanto as profundidades conjugadas do ressalto são \;y_1=0{,}96\\ \mathrm{m} e \;y_2\approx 1{,}43\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a profundidade crítica \;y_c (profundidade crítica em canal retangular para a vazão dada). A condição crítica é obtida derivando-se a energia específica em relação a y; para retângulo resulta em:
Q^2 = g\,b^2\,y_c^3,
ou seja
y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3}.
Explicando: em profundidade crítica a velocidade é V_c=\sqrt{g y_c} e também V_c=Q/(b y_c). Igualando essas expressões obtemos a equação acima.
Calculemos:
\frac{Q^2}{g\,b^2}=\frac{100}{9{,}81\cdot (2{,}5)^2}=\frac{100}{9{,}81\cdot 6{,}25}=\frac{100}{61{,}3125}\approx 1{,}631.
Tomando a raiz cúbica:
y_c\approx 1{,}631^{1/3}\approx 1{,}177\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Encontrar a altura do degrau \;\Delta z. Raciocínio físico e fórmula: elevar o leito de um valor \Delta z reduz a energia específica disponível na seção seguinte em exatamente \Delta z (porque o nível do leito sobe). Para que o escoamento sobre o degrau seja crítico, a energia específica na seção anterior ao degrau (que é a energia disponível da corrente uniforme, aqui tomada como energia em y_n) deve ser reduzida até a energia crítica mínima. Assim a altura do degrau necessária é a diferença entre a energia específica no escoamento uniforme e a energia específica mínima (na profundidade crítica). Ou seja:
\Delta z = E_n - E_c,
onde a energia específica (para retângulo, sem coeficiente de correção de velocidade) é
E(y)=y+\frac{Q^2}{2g\,b^2\,y^2}.
Explicando: E é a altura do nível de energia acima do leito local; a primeira parcela é a energia potencial superficial y e a segunda parcela é a energia cinética convertida em altura (velocidade ao quadrado sobre 2g expressa em termos de Q, b e y).
Calcule E_n em y_n=0{,}96\\ \mathrm{m}:
E_n = y_n + \frac{Q^2}{2g b^2 y_n^2}.
Já calculamos alguns termos antes; repetindo:
\frac{Q^2}{2g b^2 y_n^2}=\frac{100}{2\cdot 9{,}81\cdot 6{,}25\cdot (0{,}96)^2}.
Calcule passo a passo:
(0{,}96)^2=0{,}9216,\quad 6{,}25\cdot 0{,}9216=5{,}76,
2\cdot 9{,}81\cdot 5{,}76=19{,}62\cdot 5{,}76\approx 113{,}0,
\frac{100}{113{,}0}\approx 0{,}885.
Logo
E_n \approx 0{,}96 + 0{,}885 = 1{,}845\\ \mathrm{m}.
Calcule E_c em y_c=1{,}177\\ \mathrm{m}:
E_c = y_c + \frac{Q^2}{2g b^2 y_c^2}.
Passos numéricos:
y_c^2\approx (1{,}177)^2\approx 1{,}386,\quad 6{,}25\cdot 1{,}386\approx 8{,}6625,
2\cdot 9{,}81\cdot 8{,}6625\approx 19{,}62\cdot 8{,}6625\approx 169{,}92,
\frac{100}{169{,}92}\approx 0{,}5886,
E_c\approx 1{,}177 + 0{,}5886 = 1{,}7656\\ \mathrm{m}.
Agora a diferença:
\Delta z = E_n - E_c \approx 1{,}845 - 1{,}7656 = 0{,}0794\\ \mathrm{m}\approx 0{,}08\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: elevando o leito em \;\Delta z reduz a energia disponível de E_n para E_n-\Delta z; para que essa energia coincida com a energia mínima crítica E_c precisamos \Delta z=E_n-E_c. Com esse degrau, sobre o mesmo o escoamento fica crítico e, a montante, aparece o ressalto com conjugadas y_1 e y_2 já calculadas.

Resposta

y_{1}=y_{n}=0{,}96\\ \mathrm{m}
y_{2}=1{,}43\\ \mathrm{m}
\Delta z=0{,}08\\ \mathrm{m}

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